F. MICHEL. — TRA?jSFOniVIATION DU CONOÏDE DE PLUCKER 187 



Il ost alors facile de voir, d'après ce qui précède, que lorsque le pôle 

 d'inversion 0' esl entre A et A' la surface S est à courbures opposées au 

 point 0' ; en particulier, quand 0' coïncide avec 0, milieu de AA', les 

 deux courbures sont égales et les deux asymptotes de l'indicatrice OE et OF 

 sont rectangulaires. 



Si le point 0' n'est pas entre A et A', la surface S a des courbures de 

 même sens au point 0', et les deux asymptotes de l'indicatrice sont 



imaginan'cs. 



Enfin, lorsque 0' coïncide avec A ou A', la formule (2) n'a qu'un terme 

 au second membre ; l'indicatrice est parabolique ; la surface S est déve- 

 loppable. 



De tout ceci résulte donc la propriété suivante : 



La transformée par rayons vecteurs réciproques d'un conoïde de Pliicker 

 par rapport à un point de son axe est la surface S, lieu des centres de cour- 

 bure des sections planes d'une surface S normale à cet axe au point considéré. 



Inversement : 



Si l'on transforme par rayons vecteurs réciproques la surface S, lieu des 

 centres de courbure des sections planes en un point d'une surface S, par 

 rapport à ce point, on obtient un conoïde de Plûcker. 



— Je suppose que l'on donne à AA' une valeur constante ; alors : 



O'A ±: O'A' = AA' 



ne 



Les rayons de courbure principaux de la surface S sont 



1 1 



2. O'A - 2. O'A' 



On aura donc la relation : 





et on pourra énoncer le théorème suivant : 



Si une surface S se déplace de façon qu'un de ses points décrive une droite 

 fixe à laquelle elle reste normale, qu'elle admette comme plans principaux de 

 courbure deux plans rectangulaires fixes, passant par la droite considérée, 

 et que sa courbure moyenne en ce point soit constante, les asymptotes de 

 l'indicatrice engendrent un conoïde de Plûcker. 



IV. — Les remarques qui précèdent permettent de déduire quelques 

 propriétés de la surface S des centres de courbure, de celles bien connues 

 du conoïde de Pliicker. 



