188 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



1° — Je considère une surface S et la normale OZ en un point de 

 cette surface; soient ZOX et ZOY les plans principaux de courbure de cette 

 surface ; OP et OQ les asymptotes de l'indicatrice au point 0. 



La surface i;, lieu des centres do courbure des sections planes, passant en 

 0, de la surface S, contient les deux droites OP et OQ ; et, d'après ce qui 

 précède, si l'on transforme S par rayons vecteurs réciproques en prenant 

 le point pour pôle d'inversion, on obtient un conoïde de Pliïcker qui 

 admet OP et OQ comme génératrices. 



Or, tout plan perpendiculaire à l'axe OZ de ce conoïde le coupe suivant 

 deux droites ; on déduira de là que : 



Toute sphère ayant son centre sur la droite double de la surface ^ et pas- 

 sant par son point triple coupe cette surface suivant deux cercles. 



2° — On peut aussi étudier les sections de la surface ^ par des plans 

 passant par une des droites OP ou OQ. 



Tout plan passant par OQ coupe le conoïde de Plïicker suivant une 

 ellipse passant en et dont la tangente OT en ce point est située dans le 

 plan ZOP ; la transformée de celte ellipse par rapport au point est une 

 cubique circulaire. — Donc : 



7'out plan passant par une des droites de la surface X la coupe suivant une 

 cubique circidaire. 



L'asymptote de cette cubique circulaire est parallèle à OT ; donc, si l'on 

 fait tourner le plan de section autour de OQ, cette asymptote restera 

 parallèle au plan ZOP, en rencontrant toujours la droite OQ ; elle engen- 

 drera donc un conoïde asymptote à la surface II. l*ar suite : 



La surface ^ a deux conoïdes asymptotes ayant i^espectivement pour 

 directrices rectili<jnes les deux droites simples de la surface, et dont les plans 

 directeurs respectifs sont les deux plans déterminés par la droite double et 

 cliacune des droites simples. 



3° — Je considère un plan P passant par une des génératrices G du 

 conoïde de Plïicker ; à ce plan correspond une sphère (si passant par un 

 cercle (C) de la surface ^, le cercle (G) étant le transformé de la généra- 

 trice G. 



Le plan P coupe le conoïde suivant la droite G et une ellipse (T) ; la 

 sphère (.s) coupera donc la surface X suivant le cercle (C) et une cyclique 

 gauche (y) ; donc : 



Toute sphère passant par un des rerrlcs de la surfaro ^ la coupe suivant 

 une cyclique gauche. 



A tous les plans P passant par la génératrice G du conoïde correspon- 

 dent des sphères (.s) passant par le cercle (C) de la surface i:. Or, le lieu 

 des centres des sphères (.s) passant par ce cercle (C) est une droite D 

 perpendiculaire au plan du cercle (C) et passant par son centre. 



Il est alors aisé de voir que si l'on fait tourner le plan du cercle (C) 



