F. MICHEL. — TRANSFORMATION' DU CONOIdE DE PLUCKER 1 H9 



autour (le la droite double OZ, ce cercle engendrera la surface ^, et la 

 droite D engendrera un conoïde de l'iiicker ayant OZ pour axe. Il en 

 résulte que : 



Le lieu des centres des sphères qui prissent par un des cercles de la surface X 

 est un conoïde de Plucker ayant pour axe la droite double de celte surface. 



D'autre part, toutes les ellipses déterminées dans le conoïde de Plucker 

 pur les plans P sont tangentes à un même plan passant par OZ, au point 

 où la génératrice G rencontre cet axe : ce plan est d'ailleurs symétrique du 

 plan (GOZ) par rapport aux plans principaux de la surface S ; cette 

 remarque permet d'énoncer la propriété suivante : 



Toutes les cycliques (y) déterminées dans la surface !C par des sphères (s) 

 passant par un cercle (G) de la surface ont même plan tangent au point 

 situé sur la droite double où elles rencontrent ce cercle ; ce plan tangent 

 est symétrique du plan du cercle (C) par rapport aux plans principaux de 

 courbure. 



Enfin, l'ellipse déterminée dans le conoïde par un des plans P coupe la 

 génératrice G en un point situé sur OZ et en un autre point m ; en ce 

 dernier point, le plan P est tangent au conoïde. 



De même, la cyclique gauche (y), déterminée par la sphère (s) sur la 

 surface ^ coupe le cercle (C) au point où ce cercle rencontre OZ et en un 

 autre point m^ correspondant au point m du conoïde. Les trois points 0, 

 m et m^ sont en ligne droite, et l'on voit que la sphère {s) est tangente 

 à la surface i: au point m^. 



Si le plan P tourne autour de la génératrice G du conoïde, la sphère [s) 

 varie en passant toujours par le cercle (C) ; le point m se déplace sur la 

 droite G et le point correspondant ^^i sur le cercle (C); on peut donc 

 dire que : 



Toute sphère passant par un des cercles de la surface - est tangente à celte 

 surface en un point de ce cercle. 



Le lieu des centres des sphères [s] passant par un cercle (C) de la sur- 

 face S étant une droite D, ainsi qu'on l'a vu plus haut, on peut mainte- 

 nant énoncer le théorème suivant : 



Les normales à la surface ^ en tous les points d'un de ses cercles (C) ren- 

 contrent une même droite. Celte droite est la perpendiculaire élevée au plan 

 du cercle (C) en son centre. 



Ce qui peut s'énoncer autrement : 



Les normalies à la surface S, qui ont pour directrice un cercle de cette sur- 

 face, ont aussi pour directrice une droite perpendiculaire élevée au plan de 

 ce cercle en son centre. 



