G. DE LONGCHAMPS. — SUK UN TRISECTEUR 191 



Les conditions énoncées plus haut donnent, pour déterminer X, Y, les 



relations : 



xX + 2/ Y =: X'^ + Y% 



xY -{-yX = 0. 



On peut résoudre ces équations par rapport h x, ij, de façon à effectuer 

 la transformation de l'espace, lieu de M. ; de telle sorte que, connaissant 

 l'équation de ce lieu, on puisse déduire celle de la transformée, lieu 

 de M'. 



On trouve immédiatement (*) : 



y{X' — \-') = — Y(X^ + Y^). 



D'après ce résultat, on voit que la transformation en question rentre 

 dans le genre des transformations cubiques : à une droite co?'respond une 

 cubique (**) ; et, en général, à une courbe de l'ordre n, U7ie courbe de 

 l'ordre 3n. 



Nous ne voulons pas, dans cette Note, entrer profondément dans l'étude 

 de cette transformatioji ; mais nous devons pourtant indiquer comment, 

 connaissant la tangente en M, on construit la tangente en M' ; nous aurons 

 ainsi indiqué une première construction, par points et par tangentes, 

 de la courbe que nous utilisons dans le trisecteur en question. 



CONSTRUCTION DE LA TANGENTE A LA TRANSFORMÉE 



Considérons deux points M, jji. (fig. 3), du premier espace; soient M', </ 

 les points correspondants dans l'espace transformé. 

 Les droites MM', p.[ji,' se coupent en oj. Les angles 

 OM'to, 0;j,'a> étant droits, la perpendiculaire élevée 

 au milieu de M'ix' va passer par le milieu I de Ow. 



D'ailleurs, on a : 



;/0M' = (xOM = awM. 



/^ 



Fig. 2. 



De cette remarque, il résulte que les circonfé- 

 rences OM[x, (oMfx sont égales. 

 Ce point m qui, à la limite, se trouve placé sur MM', est un point 



(*) On peut aussi résoudre ces équations par rapport à X, Y ; les formules que l'on trouve 

 ainsi : 



X(a;2 + i/2) =: x{x2 — 2/2) 

 Y (xi + y2) = - y(x2 — y'-) 



permettraient d'effectuer le passage inverse, c'est-à-dire de transformer, par la loi géométrique 

 indiquée, le lieu du point M'. 

 (•*) C'est une strophoïde oblique. 



