C.-A. LAISANT. — SUR LES TABLEAUX DE SOMMES 207 



L'un des exemples les plus simples de tableaux de sommes est le carré 

 arithmétique de Fermât, qui fournit les coefTicients des puissances succes- 

 sives dun binôme, et que j'ai étudié dans une communication présentée 

 en 1891 au Congrès de Marseille. 



Tout tableau de sommes présente une triple propriété, des plus inté- 

 ressantes, et dont la découverte, croyons-nous, est due au regretté Edouard 

 Lucas ; je me contenterai de rappeler ici les énoncés de ces théorèmes, 

 dont la démonstration est du reste très facile. Si nous considérons les 

 centres A. B, C de trois cases de l'échiquier formant un 

 triangle rectangle isocèle, A, C étant sur une même ligne 

 et A, R sur une même colonne, appelons a,j, «j,... a^^ les 



n4- 1 termes que nous rencontrons en suivant la ligne BC ; ^z'' i^ 



Po, Pi, ... [3^^ = a^j, ceux que nous rencontrons en mar- 

 chant de A vers C ; yo =^ ?o? Yn • • • ï« = '^o ceux que nous rencontrons 

 en marchant de A vers B. Soient enfin c^^l, Cj, c.^, ... p„ = 1 les 

 coefficients du développement de (z -|- 1)", 



Cela posé, nous aurons, pour les valeurs des termes Po = Yo, a^ = y^ 

 a^ =r S^^. respectivement placés dans les cases A, B, C : 



Po — t'oa, +Cia,+ ... +C„a,„, 

 "^0 = CoJSq — Cipi -f . . . ±: c-,Ji„, 

 *« = ^'oTo — f'iTi + • • • =t r^,Y„, 



ou, symboliquement : 



P, = a, [1 + a]'"; «. = Po [1 - ^r, «" = ïo [1 - ï]''^: 



les exposants devant être transformés en indices. 



Nous utiliserons plus loin ces importantes propriétés. 



2. — Au lieu de se donner comme conditions initiales les termes d'une 

 colonne et d'une ligne, on peut prendre ceux d'une diagonale ayant la 

 direction BC de la figure ci-dessus ; alors le tableau de sommes peut se 

 former à droite et au-dessous de cette diagonale, mais non pas dans la 

 région opposée, car il est aisé de voir qu'il resterait une indétermination. 



Si, par exemple, on prend pour cette diagonale les coefficients d'un poly- 

 nôme entier P(:;) en les faisant précéder et suivre de zéros, chaque dia- 

 gonale parallèle donnera successivement les coefficients du produit de V{z) 

 par (2 + 1). (r- -i- l)f . . . (2 -f- !)''• C'est même là le procédé de calcul le plus 

 simple pour effectuer une telle multiplication, et, cà ce titre, les tableaux 

 de sommes mériteraient d'entrer dans l'enseignement, même élémentaire. 

 Comme exemple unique, supposons que nous voulions multiplier 



z3 — 2z4-i par (3+-1)^ 



