210 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Considérons, au-dessus de l'axe des y, une colonne comprenant n zéros. 

 Si nous appliquons au zéro le plus élevé de cette colonne le théorème rap- 

 pelé au n° 1, en assimilant ce zéro au sommet B du triangle rectangle 

 isocèle, nous aurons, en appelant toujours Cq, c,, c^, ... c,^, les coefficients 

 du développement de {z -f- 1)'\ 



Cn — Cl + Cj 



Cn = 0, 



propriété bien connue. 

 Descendons d'une case de hauteur le triangle considéré, et il viendra : 



1 . c„- 2q +3c, . . . ±(n-f l)c„ = 0, 



d'où, par rapprochement avec la relation précédente, ï( — 1)^J5C = 0. 



^ 



Descendant encore d'une case, et nous rappelant que les coefficients sont 

 des fonctions dep du deuxième degré, il s'ensuivra I. ( — 1)'' P^^p = ; et 







ainsi de suite, tant que nous pouvons faire descendre notre triangle rec- 

 tangle sans que le sommet B cesse d'occuper une case remplie par un 

 zéro; c'est-à-dire que la dernière relation ainsi obtenue sera : 



n 



V 



(-i)>"-^e^-o. 



En résumé, nous avons donc les w relations : 

 c, 



-0 -"1 

 — 1 . c, 



4- 2c, 



— l-.q +2X 



— 3^c, 



+ 



n^C, 



= 0, 

 = 0, 



= 0, 



in— 1 



Cl +2 



n— 1 



3 



«— 1 



+ ±n"-^c„— 0. 



Il est à peu près évident que ces relations subsistent si nous remplaçons 

 les coefficients 0, 1, 2, . . . n par une suite de termes a^,, a,, ... a^ d'une 

 progression arithmétique quelconque. Les relations que nous venons d'é- 

 crire étant linéaires et homogènes, nous en déduisons le théorème suivant: 



Soient a„, aj, ... a^^ les termes successifs d'une progression par différence. 

 Formons le tableau rectangulaire 



11111. 



1 



«0 ^1 'J-^ 



•> i i 



a- af a\ 



■11—1 )\ — \ n—\ 

 'o 3t a., . 



Il 



n—\ 



