C.-A. LAISANT. — SUR LES TA15LEAUX DE SOMMES 211 



qui contient n lignes et n + 1 colon?ies, et appelons A^, A,, A.^, . . . A les 

 déterminants obtenus en supprimant dans ce tableau la 1'^, la %^, la 5", ... 

 la (n-|-l)^ colonne. 



Si Co, Cj, . . . c,^ sont les coefficients du développement de (z -j- lj'\ on aura: 



\ ^1 \ 



Comme on sait que c^ et c,^ sont égaux à l'unité, il s'ensuit qu'un coefTi- 



A^ 

 cient quelconque p a pour expression — • 



Par exemple, en prenant les nombres naturels 1, 2, 3, ... /i -f 1, on for- 



merait le tableau rectangulaire: 



1 1 1 



1 2 3 



|2 2'^ 32 



1 



"--1 i^"— I o"— I 



1 



n+l 

 (w+1)'^ 



(n+1) 



jt— 1 



et le déterminant de Vandermonde A^^ a dans ce cas pour expression : 



1 ! 2 ! 3 !.. . (n — 4)! =. l""' r^' . . . (« — 2)^ {n - 1), 

 en sorte que : 



1 ! 2 ! . . 



.(n-1) 



Cette propriété a été énoncée, sans démonstration, dans une communi- 

 cation faite dans l'une des séances de la Société mathématique, il y a 

 quelques mois. Nous en avions trouvé une démonstration purement algé- 

 brique assez compliquée, tandis que celle qui précède est au fond d'une 

 simplicité extrême, grâce à l'emploi du théorème du triangle rectangle. 



4. — Soit un polynôme f{z) = A, + X,z + . . . + A^^;^^ d'un degré p 

 inférieur à n. Si nous m.ultiplions par Ao, Ai, . . . A^^ les p-\~i premières 

 relations linéaires obtenues au numéro précédent, nous aurons par addi- 

 tion : 



Co f{%) - c/(aO + . . . ± c/(a J =: 0. 



On a donc ce théorème, d'ailleurs facile à établir d'une façon directe : 

 Si, dam une fonction entière f(z) de degré p, on substitue à z des va- 

 leurs a^, cc„ .. . a^^ en progression par différence, n étant supérieur à p, et 

 si on appelle fo, fi . . . f„ les résultats de ces substitutions, on aura la rela- 

 tion symbolique 



