C.-A. LAISANT. — SUR LES TABLEAUX DE SOMMES 213 



On démontre immédiatement que les diagonales successives parallèles à 

 la première contiennent des termes formant des progressions arithméti- 

 ques de raisons, 2, 4, 8, , . . et que les diagonales perpendiculaires con- 

 tiennent des termes formant des progressions par quotient de raison 4. 

 lien résulte qu'un terme quelconque, occupant le rang n-\-i dans sa 

 ligne et sa colonne est égal à 2", multiplié par la demi-somme des termes 

 situés en tôte de la colonne et à gauche de la ligne. En particulier, le terme 

 de rangn-[-l delà ligne inférieure a pour expression n2"~\ Donc, en 

 appliquant le théorème du triangle rectangle ; 



Oc„ + Ic'i + 2c, + . . . -f «c,^ = n . 2"-' , 



on conclut immédiatement de là : 



«Cq + (a + /î) Cl -h (a + 2/i) c, + . . . + (a + nh)c,^ = (2a + nlï) r''- 



7. — Un problème qui paraît difficile, et que nous n'avons pas la pré- 

 tention de résoudre, est celui qui consiste à trouver une formule qui don- 

 nerait la somme des cubes des coefficients c^, c^, . . . c^. Mais voici un 

 mode de formation de cette somme qui permet de l'obtenir bien aisément. 

 et qui peut être de nature à provoquer dans cette voie de nouvelles re- 

 cherches. I] suffit d'écrire comme diagonale initiale la suite des carrés des 

 coefficients, et de former le tableau de sommes, en se limitant à la forma- 

 tion d'un triangle rectangle. Au sommet de l'angle droit, on trouvera la 

 somme cherchée. Par exemple, pour avoir la somme P + 4' -f 6^ + 4^ + P 

 des coefficients de (z + 1)S nous écrirons : 



1 



et 346 est la somme demandée. 



8. — Applications à la série de Fibonacci. — Écrivons la série récur- 

 rente de Fibonacci, dont la loi de récurrence est u.^ = w„ , ^ + w„, avec 

 les conditions initiales w^ = 0, w^ = 1, en prolongeant cette série dans les 

 deux sens : 



13 _8 5—3 2—1 1 1 1 2 3 5 8 13 21 34 

 On remarque immédiatement cette propriété que u_ = ( — if~^ u ; et, 



