G. TARRY. — GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE. — MESURE DES ARCS DE COURRE 217 



M. G-aston TAEEY 



Inspecteur des Coiilribulions divorsos, à Alger. 



GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE - MESURE DES ARCS DE COURBE, ETC. (*J [Q 1 d] 



Séance du 5 août 1893 



DE LA LONGUEUR DES LIGNES COURBES 



193. — Définition. — La longueur d'une courbe est la limite vers laquelle 

 tend le périmètre d'une ligne btisée inscrite dans cette courbe, lorsque les 

 côtés tendent vers zéro. 



Nous justifierons cette définition en démontrant que cette limite existe 

 et est unique, quelle que soit la loi suivant laquelle les côtés du poly- 

 gone tendent vers zéro, pourvu toutefois que la courbe soit continue et 

 monogène. 



Ces deux conditions étant nécessaires et suffisantes, il ne sera question, 

 dans ce chapitre, que de courbes continues et monogènes. 



En général, un point d'une courbe donnée n'est pas déterminé quand on 

 connaît la position d'une seule de ses composantes. En effet, considérons 

 une courbe quelconque, et soit P la composante positive d'un de ses points. 

 Il est clair que les points de la courbe, dont P est la composante positive, 

 sont les points d'intersection de cette courbe avec la droite isotrope posi- 

 tive de support P. Par conséquent, si la courbe est algébrique et de 

 degré n, il existera n points de la courbe ayant pour composante posi- 

 tive P. 



Mais, la courbe étant continue et raonogène par hypothèse, les deux 

 composantes isotropes d'un point qui se meut sur la courbe se trouvent 

 tellement liées l'une à l'autre, que si l'une d'elles décrit une ligne con- 

 tinue, l'autre décrira en même temps une ligne continue parfaitement 

 déterminée. 



11 ne peut y avoir de difficultés que dans les deux cas suivants : 



1° Quand le point, représenté par ses deux composantes, passe par un 

 point multiple de la courbe. 



(*) Suite du m(''moire inséré au C. R. du Congrès de Pau, 1892, p. 132. 



