218 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



En efTet, le point peut évidemment continuer sa route en suivant 

 l'un quelconque des chemins indiqués par les tangentes qui aboutissent au 

 point multiple ; 



2" Quand le point mobile passe par un point circulaire, c'est-à-dire par un 

 point de contact de la courbe avec une droite isotrope. 



Les points de la courbe infiniment voisins du point circulaire sont les 

 points d'intersection de la tangente isotrope avec une circonférence de rayon 

 infiniment petit ayant pour centre le point circulaire. Ces points d'inter- 

 section sont les points cycliques, et l'on voit que la route à poursuivre 

 par le point arrivé à un point circulaire est encore plus indéterminée que 

 dans le cas précédent. L'examen de la question ferait connaître que les 

 points circulaires sont des circonférences évanouissantes, et non des points 

 uniques. 



Considérons une courbe donnée et soit AA' l'un de ses points. 



Faisons décrire à la composante positive A une ligne continue quel- 

 conque APZ; la composante négative A' décrira en même temps une autre 

 ligne continue A'P'Z' et le point AA' se rendra à la position ZZ' en suivant 

 sur la courbe un chemin parfaitement déterminé, à la condition toutefois 

 de ne pas rencontrer sur sa route un point multiple ou circulaire. 



La forme arbitraire de la ligne APZ, qui relie A à Z, introduit dans la 

 mesure de la longueur de l'arc de courbe AA'PP'ZZ' une indétermination 

 qui ne se présente pas en géométrie ordinaire. 



En géométrie générale, un point peut se rendre d'une extrémité à l'autre 

 d'un arc de courbe en passant par une infinité de chemins différents, tous 

 tracés sur Je même arc de courbe. 



Il est donc indispensable de démontrer que la longueur du chemin par- 

 couru est toujours la même, quelle que soit la route suivie. 



194, — Théorénie de l' indépendance de la longueur d'un arc de courbe 

 envers le chemin suivi pour en rejoindre les deux extrémités. 



Ce théorème présente la plus grande analogie avec celui de Cauchy, 

 relatif à l'indépendance delà valeur d'une intégrale f ydx envers le chemin 

 suivi pour en rejoindre les deux limites. Pour mieux faire ressortir cette 

 ressemblance, nous calquerons autant que possible notre démonstration 

 sur celle du théorème de Cau(;hy donnée par M. Marie {Nouvelles Annales 

 de Mathématiques, année 1890, page 389). 



Notre théorème peut s'énoncer ainsi : 



Un chemin propre à rejoindre les deux extrémités d'un arc de courbe, et 

 qui ne passe pas par un point multiple ou circulaire de la courbe, peut 

 être modifié infiniment peu, puis insensiblement d'une manière appré- 

 ciable, sans qu'il en résulte aucun changement dans la longueur du clie- 

 min, pourvu que, durant sa déformation continue, ce chemin ne passe 

 jamais par un point multiple ou circulaire de la courbe. 



