G. TARRY. — GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE. — MESURE DES ARCS DE COURBE 219 



Considérons un premier chemin AA'MH'CC . . . XX'YY'ZZ', et divisons-le 

 en ses éléments 



AA'HIV, HB'CC. . . . , XX'YY', YY'ZZ'. 



Nous avons démontré (147) que la longueur d'un arc de courbe mono- 

 gène infiniment petit est égale à la longueur de sa corde. Il résulte de là 

 que la somme des longueurs des cordes infiniment petites 



AA'BB' + liB'CC + . . . + XX'YY' + YY' ZZ' 



est égale à la longueur du premier chemin. 



Construisons un deuxième chemin qui soit infiniment voisin du pre- 

 mier, et qui ne passe pas non plus par un point multiple ou circulaire de 

 la courbe. Supposons en outre que, dans le mouvement continu infiniment 

 petit opéré par le premier chemin pour venir occuper la position du 

 deuxième, aucun des points situés sur ces parcours intermédiaires ne passe 

 par un point multiple ou circulaire de la courbe. 



Il existera toujours sur le deuxième chemin des points BjBi, CjCi, . . ., 

 XjXi, YjY'i, qui seront respectivement infiniment voisins des points BB 

 ce , . . . , XX', YY du premier chemin. Les cordes AA BiBi, BiBiCiCi, . . ., 

 XiX'iY'iYi, YjYÎZZ' sont infiniment petites et leur somme 



AA'B^B; + B.B'iCiC; + . . . + X^X'i Y j'i + Y jlZZ 



est égale à la longueur du deuxième chemin. 



Les arcs de courbe monogène infiniment petits se confondant avec leurs 

 cordes, les arcs 



aa'bb'BiB;, bb'BiB'iCC'CiC;, . . ., xx'x.x'iYYYj;, yy'YiYIzz' 



peuvent être considérés comme des éléments de lignes droites. 

 On a, par conséquent, les égalités suivantes : 



AA'BiB'i = aa'bb'+ BBBiB; 

 BB'BjB; + BiB'iCiC; = bb'cc' -I- cc'c.c'i 



XX'XiX'i + XiX'iYiY; = XX YY -f YY'YjY; 

 YY YiYi + YjY.ZZ = YYZZ' 



Additionnons ces égalités membre à membre, et supprimons les termes 

 égaux de part et d'autre ; nous aurons : 



AA'BiB; + BjB'iCiC; 4 ... -f Y^Y'iZZ' = AA'bb' -I- bb'cc + •• -f YYZZ- 



