220 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Cette égalité exprime que la longueur du deuxième chemin est égale k 

 celle du premier. 



On pourrait, sous des conditions analogues, remplacer le deuxième che- 

 min par un troisième, et recommencer indéfiniment, tant que les condi- 

 tions exigées seront rigoureusement remplies. 



Ainsi deux chemins terminés aux mêmes extrémités pourront se substi- 

 tuer l'un à l'autre, si le premier peut se transformer insensiblement dans 

 le second, sans que. dans ses formes intermédiaires, il passe jamais par un 

 point multiple ou circulaire de la courbe. 



Nous donnerons le nom de réseau isodrome à l'ensemble de tous ces che- 



mins égaux. 



La démonstration précédente, fondée uniquement sur les propriétés élé- 

 mentaires des courbes monogènes (146), prouve en même temps que le 

 périmètre d'une ligne brisée inscrite dans une courbe, et dont les côtés 

 diminuent indéfiniment, tend vers une limite unique. Notre définition delà 

 longueur d'une courbe est donc entièrement justifiée. 



195. — Le théorème de l'indépendance des longueurs des chemins 

 peut s'énoncer sous cette forme : 



La lonçjueur du chemin suivi sur une courbe par un point qui revient à 

 sa position de départ est identiquement nulle, lorsque ce chemin 'peut se 

 réduire à un point unique, sans que, dans ses transformations successives, 

 il passe jamais par un point multiple ou circulaire de la courbe. 



On voit que dans là mesure de la longueur d'un parcours, il est indispen- 

 sable de tenir compte du sens des éléments qui composent le chemin. En 

 conséquence, les grandeurs de deux éléments consécutifs PP'QQ' et QQ'RR', 

 nécessairement situés sur une même droite, auront le même signe ou des 

 signes contraires suivant que les semi-droites PP'QQ' et QQ'RR' seront de 

 môme sens ou de sens contraires (33 et suivants) . 



196. — Par analogie avec ce qui se passe en géométrie ordinaire, on 

 comprend que les extrémités d'un arc de courbe puissent être reUées l'une 

 à l'autre par des chemins de longueurs difïérentes, et il est aisé de se 

 rendre compte des conditions dans lesquelles les longueurs des chemins 

 varient. 



Tout point multiple peut être considéré comme un carrefour auquel 

 aboutissent plusieurs réseaux isotropes. Un point de la courbe peut donc 

 se rendre d'une station à une autre en empruntant des réseaux isotropes 

 différents. 



Sur un même réseau isotrope fermé un point peut aller d'une station à 

 une autre sans quitter le réseau, en suivant deux chemins opposés; le 

 point peut encore revenir à sa position initiale en décrivant un chemin égal 

 à la somme des deux premiers. Dans ce dernier cas, le réseau isotrope fermé 

 ne peut être réduit à un point unicjue. 



