224 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



L'angle de deux droites est égal au logarithme multiplié par — 



du rapport anharmonique que ces droites forment avec les lignes allant 

 de leur point d'intersection aux points circulaires imaginaires. 



En d'autres termes, le double de la grandeur d'un angle est égal au 

 logarithme géométrique du rapport anharmonique formé par les deux 

 côtés de l'angle et les deux droites isotropes passant par son sommet. 



On démontre que cette définition revient identiquement à la suivante : 



Le double de la grandeur d'un angle est égal au logarithme géométrique 

 du rapport des carrés des segments déterminés sur ses côtés par une 

 droite isotrope quelconque. 



JNotre théorème fondamental s'énonce ainsi : 



La grandeur d'un angle, réel ou imaginaire, est égale au logarithme géomé- 

 trique du rapport des segments déterminés sur ses côtés par une droite 

 isotrope quelconque. 



Le théorème de Laguerre ne peut pas servir de fondement à une 

 géométrie générale, pour l'unique raison qu'il ne permet pas de distin- 

 guer l'un de l'autre deux angles qui diffèrent de tz. Un exemple suffira 

 pour convaincre le lecteur. 



Considérons un triangle quelconque AA'BB'CC et l'une de ses médianes 

 AA'MM'. Les deux triangles AA'MM'BB' et AA'MM'CC sont inégaux; 

 cependant les doubles des angles correspondants AA'M.M'BB' et AA'MM'CC 

 sont égaux, et les côtés adjacents à ces angles sont égaux chacun à 

 chacun . 



Le théorème de Laguerre ne peut donc servir à démontrer que deux 

 triangles sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés 

 égaux chacun à chacun. Au contraire, l'emploi du théorème fondamental 

 rend très aisées les démonstrations des premières propositions de géomé- 

 trie générale. 



Dans mes précédents mémoires, je me suis laissé entraîner à suivre de 

 trop près la marche tracée par la géométrie ordinaire. En géométrie géné- 

 rale, il est préférable de relier les premières propositions au théorème 

 fondamental par la voie la plus directe. Si l'on adopte celte méthode, 

 les démonstrations s'abrègent et se simplilient; il n'est plus nécessaire 

 d'avoir recours à des artifices. 



Toute la géométrie générale est contenue en germe dans le théorème 

 fondamental. 



RELATIONS ENTRE LES COTÉS ET LES ANGLES d'l'N TRIANGLE 



205. — Pour nous conformer à la règle des signes, nous appellerons 

 triangle la figure formée par trois serai-droites non isotropes qui se 



