228 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Dans tout triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles 

 opposés. Par conséquent, les angles opposés aux côtés égaux d'un triangle 

 isocèle ont leurs sinus égaux. 



Les angles qui ont leurs sinus égaux sont égaux, ou bien leur somme 

 est égale à ± tt. Or, la somme de deux angles d'un triangle ne peut être 

 égale à + -. Donc, ces deux angles sont égaux. 



Réciproquement, tout triangle qui a deux angles égaux est isocèle. En 

 effet, les angles égaux ont leurs sinus égaux, et les côtés opposés à ces 

 angles sont proportionnels à leurs sinus. 



Ces démonstrations sont beaucoup [)lus simples et plus claires que celles 

 données aux n°^ 73 et 74. 



213. — Théorème. — Deux triangles sont dii'ectement semblables lors- 

 qu'ils ont deux angles égaux chacun à chacun. 



Deux triangles sont dits directement semblables lorsqu'ils ont leurs 

 angles égaux et les côtés homologues proportionnels. 



Deux triangles qui ont deux angles égaux chacun à chacun ont les 

 trois angles égaux. Soient a, b, c et a', b', c' les côtés homologues de 

 deux triangles qui ont leurs angles égaux. Des égalités 



a b c a' /;' c' 



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sin a sin ^ sin y sin a sin p sin y 



on déduit immédiatement les suivantes : 



abc 



-, = p = -, (c. ft. F. B.). 



Remarque. — Quand on change les signes des côtés d'un triangle, on 

 obtient un second triangle directement semblable au premier. Le rapport 

 de similitude de ces deux triangles est égal à — t . 



214. — Théorème. — Deux triangles sont inversement semblables lors- 

 qu'ils ont deux angles inverses chacun à chacun. 



On dit que deux triangles sont inversement semblables lorsqu'ils ont 

 les angles inverses et les côtés homologues proportionnels. 



Deux triangles qui ont deux angles inverses ont les trois angles inverses. 

 Soient a, b, c, a, [i, y et a\ b\ c', — a, — B, — y les éléments des deux 

 triangles. On a les égalités : 



abc a' b' c' 



sm 7. sin 3 sin y sin x sin ,3 sin y 



(c. q. F. D.). 



