230 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



218. — I'héorème. — Le lieu des points dont les distances à deux semi- 

 droites fixes ont un rapport donné est une ligne droite qui passe par leur 

 point de concours. 



La démonstration peut être calquée sur celle donnée par M. Rouché 

 {Tmité de Géométrie, ()" édition). On trouve pour le lieu une seule droite, 

 au lieu d'un système de deux droites, en appliquant le principe des 

 signes. 



219. — Problème. — Construire le point double (centre de similitude) 

 (le deux figures directement semblables. 



Soient AB, A'B' deux segments homologues et X le point cherché. 



On connaît le rapport des deux segments XA et XA', égal au rapport 

 des deux segments ABet A'B', et l'angle des semi-droites XA et XA', égal à 

 l'angle formé par deux semi-droites homologues quelconques. Le pro- 

 blème est donc ramené à construire un triangle AXA' de simihtude donnée, 

 connaissant l'un de ses côtés AA'. 



Remarque. — Quand les deux figures sont directement égales, le point X 

 se trouve sur la perpendiculaire élevée au milieu du segment AA'. Il ré- 

 sulte de là que si deux segments AB et A'B' sont égaux, les perpendicu- 

 laires élevées aux milieux des segments AA' et BB' se coupent en un point X 

 tel que les deux triangles XAB et XA'B' soient directement égaux, et non 

 inversement égaux. 



220. — On dit que deux semi-droites, tracées dans le plan d'un angle, 



sont antiparallèles lorsque la première fait avec l'un 

 des côtés de l'angle donné un angle inverse à celui 

 que la seconde fait avec l'autre côté. 



Ainsi les deux semi-droites DE et BC sont antipa- 

 rallèles par rapport à l'angle A si l'angle ADE est 

 inverse à l'angle ACB. On voit que, réciproquement, 

 j,jg , les côtés de l'angle A sont antiparallèles par rapport 



à l'angle formé par les deux semi-droites DE et BC. 



221. — Théorème. — Deux semi-droites antiparallèles par rapporta 

 un angle déterminent avec les côtés de cet angle deux triangles inverse- 

 ment semblables. 



En effet, les deux triangles ADE, ACB ont deux angles inverses chacun 

 à chacun, savoir l'angle ADE inverse à l'angle ACB et l'angle EAD inverse 

 à l'angle BAC. 



222. — TiiÉORÈAiE. — Lorsque les deux côtés d'un angle sont coupés 

 par deux semi-droites antiparallèles, le produit des distances du sommet 

 aux deux points où chacun des côtés est renconti^é par les deux transver- 

 sales est constant. 



Soient DE et liC , deux semi-droites antiparallèles par rapport à 

 l'angle A. 



