FONTES. — SUR LES CARACTÈUES DH DIVISIBILITÉ 243 



et nous remplacerons au point de vue du reste (ou du résidu minimum) 

 le nombre N par 34000050 — 0742 >< ± 



Si nous voulons généraliser, nous énoncerons le théorème suivant : 



« On ne change pas le reste (ou le résidu minimum), pris avec son 

 signe, de la division d'un nombre quelconque N par un module donné M, 

 si on retranche de ce nombre une tranche d'un nombre quelconque de 

 chiffres, et si on remplace dans ce nonibre les chiffres de cette tranche 

 par autant de zéros, à la condition d'ajouter au nombre ainsi modifié 

 le produit de la valeur numérique de la tranche par le reste (ou résidu 

 minimum), suivant le module M, de la puissance de 10 qui lui donnait sa 

 valeur de position. » 



Mais ce que nous avons dit d'une tranche prise au hasard dans le 

 nombre proposé peut se dire de toutes les tranches qu'on peut détacher 

 de la même façon. 



On peut donc dire que : 



On ne change pas le reste (ou résidu minimum) d'un nombre (juel- 

 conque N par rapport à un diviseur donné ou module M, si, après 

 l'avoir divisé en tranches de chiffres d'une manière quelconque, on le 

 remplace par la somme obtenue en multipliant respectivement chaque 

 tranche considérée par le reste (ou résidu minimum pris avec son signe) 

 de la division par le module choisi de la puissance de 10 qui lui donne, 

 dans le nombre considéré, sa valeur de position. 



Ainsi le nombre N = 34674256 peut être remplacé, au point de vue 

 de la recherche du reste (ou résidu minimum) de la division par 7, par 

 le nombre 



34 + 6742 X 2 + 56 



les restes de la division de 10^ et de 10" par 7 étant respectivement 2 et 1, 

 et au point de vue de la division par 17, par 



_ 34 ' .- 8 + 67 ;/ 4 — 42 -< 2 + 56 



les résidus minimums de 10% 10* et 10*^ suivant le module 17 étant res- 

 pectivement — 2, 4 et — 8. 



Toute la théorie des caractères de divisibilité enseignée dans les traités 

 d'arithmétique est implicitement comprise dans cet énoncé, qui n'est 

 autre chose que la généralisation du principe mis en œuvre par Pascal 

 dans son traité cité plus haut. C'est ce que nous allons faire voir. 



Considérons, par exemple, le nombre 



N = 19173720160433 

 si nous voulons savoir s'il est divisible par 53, nous observerons que 



