244 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



le reste de la division de 10*^ par 53 est 49 et {j)ar suite le résidu mini- 

 mum — 4) de telle sorte que lO*^ = mult. 53 — 4 ; nous ferons donc la 

 dillérence (19173720 < — 4) -f- '160433 qui nous donnera le nombre 

 plus petit — 7Go34447. Puis comme 10^ = mult. S3 — 6, nous ferons 

 encore la somme algébrique — [(76 X — 4) -|- S344 X — 6) -(- 47] , 

 qui nous donnera + 32321 que nous remplacerons successivement par 

 (3!23X — 6)-f 21= — 1917;puis— [;(19X — 6) + 17]=97=zio3-f 44. 



Le nombre proposé n"est donc pas divisible par 53 et le reste de la 

 division est 44. 



11 paraît préférable de régler ces opérations par un procédé qui est en 

 général plus pratique (quoiqu'en apparence plus compliqué), que celui 

 qui consiste à n'employer connue facteurs, dans les diverses multi- 

 plications auxquelles on est conduit, que les plus petits numériquement. 



Soit, par exemple, N =: 7372010433 et M ^= 19 ; nous pouvons écrire N 

 sous la forme 



N = (73 X 100'-) + (72 X 100=') + (1 X lOO"^) -{- (4 X lOOj + 33. 



Or, nous savons que le reste d'un produit est le même pour le même 

 diviseur que celui du produit des restes de ses facteurs. Cette observa- 

 lion s'applique évidemment aux puissances d'un même nombre. Par 

 suite, nous déduisons 



100 = multiple 19 + 5 

 100^ = multiple 19 + 5^ 

 100» = multiple 19 + 5^ 

 100'' z= multiple 19 4- 5'* 



Par conséquent, nous pouvons remplacer le nombre N, par 



^, '-= (73 X 5") -I- (72 X S^) + (1 X 5^) + (4X5) + 33 (*) 



nombre manifestement plus petit que N. 



il n'est pas nécessaire d'en dire plus long pour montrer que la loi est 

 générale et peut s'appliquer à un module quelconque. 



Si l'on substitue à la notion du reste celle du résidu minimum, on 

 trouve de la même façon que ci-dessus qu'au nombre A précédemment 

 étudié suivant le module 53, on pourra substituer, en vertu de 



1000 = mult. 53 — 7 



A3 = 19 X (-7 )* + 173 X {-')'+ 720 X (- 7)^ + 160 X (- 7) + 4 



(•) Nous retombons ainsi de hi façon la plus élémentaire sur le premier des théorèmes exposés au 

 Congrès de Pau 1892) au sujet de, la division arilhméli'iue. 



