FONTES. — SUR LES CARACTÈRES DE DIVISIBILITÉ 245 



OU 



A' =r 19 X 7'' — 173 X 7' X 720 X 7' — 160 X ''^ + '«-^ 



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Nous pouvons donc énoncer le second théorème suivant : 



« Si on sait que 10" divisé par un module donné M donne q pour reste 

 (ou résidu minimum pris avec son signe), le reste de la division d'un nombre 

 quelconque N par M sera le même que celui de la somme algébrique obtenue 

 en multipliant respectivement les tranches de ?^ chiffres de N par les mêmes 

 puissances de q que celles de 10" qui leur donnent leurs valeurs de position 

 dans N, » 



En faisant l'application de ce qui précède aux plus petits modules 

 premiers nous arrivons aux conséquences suivantes : 



1° — Si on prend les modules 3 et 9 comme 10 = 3X3 + 1 =9 + 1, 

 on est conduit immédiatement à la règle connue qui consiste à additionner 

 entre eux les chiffres significatifs de N. 



2° — Si on prend M = 11, comme 10 = 11 — 1, nous obtenons 

 immédiatement le critérium à signes alternatifs connus. Il est à remarquer 

 qu'en partant de 10'- = 9 X H + 1 on obtient un critérium à tranches 

 positives de deux chiffres, qui n'exige pas plus de calculs que le procédé 

 usuel. C'est celui qu'indiquait Pascal. 



3° — Pour 7 et 13 on prendra 1000 =i: 11 X 13 X ^ — 1 ; on en 

 déduira le critérium connu à signes alternatifs qui conduit, en fin de 

 compte, à un nombre de 3 chiffres au plus. Pour ce dernier nombre on 

 observera que : 



100 = 14X7 + 2 = 8X13 — 4. 



Il suffira donc, pour le module 7, de multiplier par 2 son chiffre des cen- 

 taines et de l'ajouter à la tranche des deux chiffres de droite. Pour le 

 module 13, les centaines seront multipliées par 4 et retranchées de cette 

 tranche. 



4° — La règle à appliquer pour 17 est également très simple. On obser- 

 vera d'abord que 10^ mult. 17 — 1. On ramènera ainsi N à n'avoir que 

 huit chiffres au plus. Puis, le nombre ainsi réduit sera repris, par groupes 

 de deux chiffres, en s'appuyant sur ce que : 



100 = 6 X 17 — 2. 

 Par exemple, si N = 28432572, on formera : 



A^ = 28 X (— 2)-^ + 43 X (— 2'' -^ 25 X (- 2) + 72 

 = — 28 X 8 + 43 X 4 — 25 X 2 + 72 



