A. GOB. — FOIIMULE SUR LE JlAYON DK COURBURE DES CONIQUES 2o5 



I. — Considérons d'abord deux triangles, ABC et A'Ii'C insciits à un 

 même cercle, et soit R le rayon de ce cercle. La surface d'un triangle 

 étant égale au produit de ses trois côtés divisé par le double du diamètre 

 du cercle circonscrit, nous aurons : 



A'ur vvrx T'AR Al^ . \'C . WC . tVA . CA . CH . BC . CA . AH 



A BC . B LA . C AB — -77-ni , 



b4R^ 



^ . .., AB' . AC . BC . BA' . CA' . Cli' . B'C . C'A' . A'B' 

 ABC . BC'A' . CA'B' = 



d'où 



64R3 

 A'BC . B'CA . C'AB BC . CA . AB 



AB'C . BC'A' . CA'B' BC . C'A' . AB' 



> 



A'BC . B'CA ■ C'AB _ ABC 

 ou enfm : ^^,^, ^ ^^, ^, ^ ^^,^, _ ^,j,,^, . ( ) 



II. — Cette relation ne contenant que des surfaces, subsistera si nous 

 faisons une projection orthogonale (réelle ou imaginaire) de la figure, 

 c'est-à-dire si nous supposons que les triangles ABC, A'B'C soient ins- 

 crits à une même conique. Mais nous avons, en désignant par x^^, y^, z^^ 

 et œ'^, y'jj, :-[^ les coordonnées normales d'un point M par rapport aux 

 triangles ABC et A'B'C, et par R, R' les rayons des cercles ABC, A'B'C: 



A'BC = i BC . a^ ,, etc . ABC := ^^-^^^-"^^ . 



% ^ 4R 



La formule (1) peut donc s'écrire : 



BC . CA . AB . x^r . y^, . '■,, R' . BC . CA . AB 



B'C . C'A' . A'B' . x' .2j'z'~R. B'C . C'A' . A'B' ' 



X r . t/ , . Z R' 



ou ^r-^ r =-• (2) 



m. — Supposons maintenant que les points B', C tendent indéfini- 

 ment vers A' ; le cercle A'B'C aura pour limite le cercle osculateur en 

 A' ; les distances a;^„ y^,, z^, deviendront les coordonnées normales 



X, y, z du point A', par rapport au triangle ABC, et ^'^, y'^, z'^ devien- 

 dront les distances a, p, y des points A, B, C à la tangente en A'. Nous 

 aurons donc, en appelant p le rayon de courbure en A' : 



Telle est la formule que nous nous proposions de démontrer. 



