256 MATIIKMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



lY. _ La formule (2) subsisterait si les deux triangles AUC, A'B'C 

 étaient circonscrits à une même conique, ou étaient autopolaires par 

 rapport à une même conique; car, en vertu d'un théorème connu, ils 

 seraient, dans chacun de ces cas, inscriplibles à une môme conique. Il 

 reste à voir quelle sera alors la limite du cercle A'B'C lorsque li' et G 

 tendent vers A' (*). 



Considérons d'abord le premier cas. Soient r', r\^, r[, /•'. les rayons 

 des cercles inscrit et ex-inscrits au triangle A'IVC ; on sait que : 



4R -f r' = /•; + ri 



f 



Lorsque les tangentes A'B', A'C tendent a se confondre avec la droite 

 B'C que nous supposons fixe, r', /•[, r'^ ont pour limites et r\ a pour 

 limite le rayon p du cercle de courbure au point de contact de B'C (**). 

 Donc : lim. 4R' = o, 

 et la relation (2) devient : 



P = 4R^'. , (4) 



Y. Pour le second cas, on peut démontrer assez simplement que le 



cercle autopoîaire du triangle A'B'C a pour limite le cercle oscuiateur au 

 point limite où viennent se confondre les sommets A'B'C. Mais si R" 

 désigne le rayon du cercle autopolaire, on a : 



W = — 4R'2 cos A' cos B' ços C. 

 Or, si l'on suppose que A'B'C devienne infiniment pclil, on aura : 



A' = 180", B' = 0, C=0. 

 Donc : lim. R'"^ = 4 lim. R'% 



ou: Um. B" = 21im. R' = |. 



On obtient donc la formule : 



= -2R^. 



apY 



VI. — Les formules (3), (4), (5) donnent immédiatement la solution 

 des problèmes suivants (***) : 



(•) L'idée de cette pénéralisaiion nous h été suggérée par M. Aoubeig. 



(*•) Nous ciniJi-unlons celle démonslration à un arliclu de M. Servais. (Matlicsls, l. IX, |)i). lOo 

 et 13(1.) 



{*'*) Crs |)rol)lî;in(.'S, lorsque la conique variable est circonscrite à un triangle lixo, ont été jn-oposés 

 par M. Jamel. (Voir Mutlivsis, pp. 121 et l'ia.) 



