A. GOB. — FORMULE SUR LE RAYON DE COURBURE DES CONIQUES 2o7 



a) On considère les coniques inscrites, circonscrites ou autopolaires à 

 un triangle fixe ABC, et passant par un point donné A', lieu du centre 

 (le courbure en A'. 



b) On considère les coniques circonscrites, inscrites ou autopolaires à 

 un triangle fixe ABC, et touchant une droite donnée m, lieu du centre de 

 courbure au point de contact avec m. 



Pour les problèmes a, les quanlités B, œ, y, z sont des constantes et les 

 relations (3), (4), (o) sont de la forme : 



pa^Y =: constante. 



Prenons pour pôle A' et pour axe polaire une droite quelconque pas- 

 sant par A'. Soient (/'i, <x^), {r^, a.j, (r.^, ag) les coordonnées polaires des 

 points A, B, C et p, celles du centre de courbure; nous aurons : 



a = ri sin (aj — -j- 90°) = r^ cos (6 — aj, 

 P = r^ cos (0 — a.^), 

 T = ^3 cos (0 — 7.3). 



L'équation polaire du lieu sera donc : 



p cos (6 — a/) cos (6 — a,^) COS (6 — a3) =zr constante. 



Cette équation représente une cubique. 



VII. — Pour les problèmes b, B, a, p. ■; sont des constantes et les rela- 

 lions (3), (4), (5) sont de la forme: . 



p = xyj; . constante. 



Prenons pour axes la droite 7n et une perpendiculaire quelconque à 

 cette droite. Soient : 



X cos ai -f Y sin ai — /^i = 0, 

 X cos «2 "T Y sin a., — p., = 0, 

 X cos a,, -[- Y sin a^ — p.^ = 0, 



les équations des droites BC, CA, AB. ]>ésignons par \, Y les coordon- 

 nées du centre de courbure au point A'. Nous aurons : 



p = X, a; =: X cos a.^ — p^, etc. 



L'équation du lieu géométrique sera donc : 



Y = constante. (X cos ai - Pi){\ cos a, — Pi){X. cos a.^ — p^). 



C'est l'équation d'une cubique. 



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