A. G0I5. — APPLICATIONS DU THÉORÈME DE CARNOT 2o0 



L'égalité (l) constitue le théorème de Carnot (*). 



Nous allons étudier les modilications qu'éprouve la formule {]) lorsque 

 la courbe passe par un sommet du triangle ABC; ou touche un côté de ce 

 triangle en l'une de ses extrémités, ou lorsque deux côtés de ce triangle se 

 rapprochent indéfiniment. 



1 . — Si la courbe passe par A sans toucher en ce point l'un des côtés 

 AB, AC, écrivons d'abord la relation (1) ainsi : 



B r C A A.B B.C C,A 



B„A C„B ^A,,C ' B,A ' 0,8^ ' 



et observons que dans le triangle AB^C,^ on a : 



C„A sin AB„C„ 



B,A sin AC„B„ 



Supposons que la courbe se déforme d'une manière continue de manière 

 que les points C,,, B^^ tendent à se réunir en A et soit AT la tangente en A. 

 La relation (1) devient à la limite ; 



ACsinC\T -V'^ B.C C,.A 



i^smuAi „_^ ^_^ „_^ji__ 



AB sin BAT ' A/C ' B,A ' C, B ~ ^^ 



Iv h ft 



AC 



Le rapport — est positif et la règle des signes est applicable aux angles 



CAT, BAT. 



La relation (2) sert à déterminer la tangente en A, quand on connaît 

 les points d'intersection de la courbe avec les côtés du triangle ABC. 



2. — Si la courbe touche AB en A, menons par B une sécante, infini- 

 ment voisine de BA et rencontrant la courbe en C^, C^ . . . C'^ et CA en A'. 

 Appliquons la formule (1) au triangle A'BC, en l'écrivant comme suit : 



c;, .A' c;a' AC A/.b b,.c c'v 



C',_,B C;B AA' ^'iA,C ^^ B,A' ''^ C',B-^- 



Faisons tendre BA' vers BA et supposons que C',^ et C[^_^ tendent à se 

 confondre avec A, et que C'^, Q^, ... C]^_^^ aient pour limites Cj, C^... 

 C„_,. Nous aurons ; 



C; ,A'.C'A' VC A,.B B,.C C.A 



(*) Le lecteur est prié de dessiner lui-même les figures lorsque cela sera nécessaire. 



(**)M. Demoulin a examiné les conséquences du théorème de Newton, dans une note remarquable 

 qui a paru dans les Mémoires couronnés cl aulres mémoires publiés par l'Académie royale de Bel- 

 gique, t. XLV. 



