^GO MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



C;, .A'. C'A' 



;)— r 



Il reste à trouver la limite de la quantité 



Ou peut d'abord remplacer C;,_,A', C'^A' par (V,j_,A, C',,A. Car : 



C'_A' sinC;__^A'A 



1"^^ (Pt = '"" sin C; ,AA' = ^' '^'- 



Soit H la projection de A sur 15A', et K le rayon du cercle AC;,_,C'„; nous 

 aurons : 



(l_,.V.C]A' ^ ^'n-V^-^^n gj,^ ^yyi ^ j^,^^ 2R siu BAC 



AA' AH 



= 2p sin A, 



désignant le rayon de courbure en A. La relation cherchée est donc : 



XC A.B B,C C,A 





(3) 



On obtient ainsi le rayon de courbure en A. On peut observer qu'il 

 existe une infinité de courbes de degré n passant par Aj, A., ... A„, 

 i> . . . B , C ... C „ et touchant AB en A. Toutes ces courbes ont 

 même courbure en A. 



3_ — Considérons une courbe de degré n, touchant AB en A, BC en B'. 

 CA en C, et coupant en outre ces C(Més en n — 3 autres points : 

 (Ci,C, . . . C„_3), (Al, A, . . . A„_3), (Bi, B„ B„_3). Remplaçons BC par 

 une sécante infiniment voisine, coupant AB en B', AC en C et la courbe 

 en A', AL ... A^,. l>'après le théorème précédent on a, en désignant par 

 c , p , p les ravons de courbure en A, B. C : 



. AC . ^ -K^ A^ K^ çç^ BA ^)^ 



^''a • Air * •■'" ■ A// ■ A„_^C' ' A„_/:' * CA'^ ' m ' ^^^ a^c 



B,C' C,A 



.II, jp.ll, (^,-1. 



« 



Faisons tendre B'C vers BC et supposons que A',, et A'„_, tendent vers 



B, A'„_2 vers C et A',, A', . . . A'„_3 respectivement vers Ai, A,, \^_^. 



Nous aurons : 



1 ■ a;,b'.a;,_,b' cc^ _^A/B 



^Pa^^" VvC.AB.Bc''"' BB^ ^'"'ÂJ'-^'" Â^- 



B.C C,A 



B/A 1 C/B 



