A. GOB. — APPLICATIOJJS DU THÉORÈME DK r.ARNOT 2(31 



Or, on démonlrera par la mémo mélliode qu'au n'^ 2, que : 

 a;B.A'„_,B' , . „ ,. CC'2 



hm 



= 2p^ sin B, lim v — q, = 2p^ sin C. 



BB' 'n-2^ 



La formule devient donc : 



sin A ■ sin B . sin C ^n-z'^ u"-^^ „_3 ^-/A _ , 

 ^PaPbPc AC . AB . BC * "^ A,C ' ^^' B,A * ^^^ (:,B - ' 



^^' B.A A,C C.B 



PAPB?cC-B.n, p,^c "i A^^B "^ C,A ^^^ 



K désignant le rayon du cercle ABC. En particulier, si n = ^ on trouve : 



PaPbPc = *^'' 



théorème du à M. Mannheim. 



4. _ Si la courbe ne passe pas par les sommets du triangle ABC, 

 joignons les points (A„ A, . . . A„), (Ci, C, . . . CJ par les droites A^Ci, 

 A2C2, . . . A„C,^. Appliquons au système de ces n droites, considéré connne 

 une ligne d'ordre n, la relation (1) : si Dj, D, ... D„ sont les points de 

 rencontre de ces droites avec AC, on a : 



A,C D,A C,B 



"iâ;^'""ï)7:"^c;â-^- 



Il en résulte que : 



D/.A B.A 



" D, c " ^ B, C 



Mais D/.\ = CA — CD/ = D/..C — AC , B/.A = B^r- — AC. Donc : 



- n,(.-f) = n,(.-AC). 



Faisons tourner le côté BA autour de B jusqu'à ce quil se confonde 

 avec BC, et supposons que Ci, C, ... C,^ tendent respectivement vers 

 Al, A„ ... A,j les droites AiCi, A,C, . . . A„C„ auront pour limites les 

 tangentes en Ai, A^ ... A„. Soient maintenant D„ D„ ... D^ les points 

 où ces tangentes coupent CA. Si l'on développe l'égalité précédente, qu'on 

 la divise par CA, et qu'on passe à la limite pour CA := 0, on trouve : 



2cD,-2cB,- 



