A. GOn. — APPLICATIONS DU THÉORÈME DK CARNOT 265 



Soit M le milieu de B„_,B„ et P le point de rencontre de la normale an 

 point A^^ avec B^j_,B,^. On aura : 



cb;~bZÂ^ " (ï^ ~ Bj) + (cb; - pb;) + (bj>- b;::^:) 



n r / 1 M r ^C ,. A„P cotl? U 



^^•- '^"^(cb; - PB:J ^ '™ CB^M^. =^""f1'''' "^ -^ ^ 

 M désignant l'angle A^A^J)/.. 



1 1 \ cots: M 



De même : lim 



A-.'* I^«-Al 



/ 1 1 



Donc : lim ( 



.CB„ B,,_,cy 



'''^'^ lim^-i- L.^ ^ ^^î^ _^ lim ^™ 



I 



^ 2PM __ 2PM ,^ A„P A^^B,, . A„B,^_^ 



^' • PB„ . PB_^ - A„ 1> "^ A„B,, . A„B„_^ ' PB„ . PB,_, ' 



La troisième fraction a pour limite — 1, la deuxième est égale à l'in- 

 verse du diamètre du cercle A.B„B„ , et a pour limite — • Il reste à 



PM 



trouver la limite de ^-j^ • Prenons pour axe des x la tangente et pour axe 



des ij la normale au point A„ et désignons par [x^, y), [x^, y), les coordon- 

 nées des points B^, B^^_^. Soient enfin y^, y"^ les dérivées seconde et troi- 

 sième relatives à A^^, et p' le rayon de courbure de la développée, au point 

 qui correspond à A^^. On a : 



/y» 2 rpS 



nÀJ -^ KÂJ ^ 



2/ = iK+^j!/:+..--etc. 

 D'où, en retranchant et divisant par y{x^ — x.^ : 



^1 + ^-^ ,/' , ^' + ^^^^ + ""' ,," , - 



<^y Vo^ by yo-r "• 



