266 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Passons à la limite en remarquant que les deux premières égalités 



donnent : 



Il I. 



iim ^ = lim ^ == ^ ' lim -^ = lim %\\m^ = — -^^ 

 x\ xl 2 x^x^ a:; x^ 2 



et nous aurons 



d'où : lim — -;r = lim 



T ''"l ~~ '^^ li" -^O A 



MP „„. aji 4- -^2 ^'" 



1 , 2/r , ,. PM p' 



Mais on a : p = — » p == -; donc lim •— — = •— ■ 



2/o 2/o A„P dp 



La formule cherchée est donc : 



cotgw -' — "-' ' —"-2 





A„B, 



(8) 



On verra aisément que p' doit être pris positivement lorsqu'il est dirigé 

 du côté des x négatifs. 



9. — Soit A,j6 la position limite de la droite A,jM. Cette droite a reçu le 

 nom d'axe d'aberration, et l'angle qu'elle fait avec la normale celui d'angle 

 d'aberration (*). Si l'on imagine une conique, tangente à la courbe au 

 point A^^ et passant par les points B^^ et B,,_,, la droite A^M sera un dia- 

 mètre de cette conique. L'axe d'aberration est donc le lieu géométrique 

 des centres des coniques ayant avec la courbe, au point A^, un contact du 

 troisième ordre. Si l'on désigne par 5 l'angle d'aberration et par s 

 l'inclinaison de la sécante A^^X/. sur l'axe d'aberration, on aura : 



PM '' 

 tgo r- lim — ^ = ^ , et la formule (8) pourra s'écrire : 

 A„P S? 



-(cotg.-/,o)^2. ÂJ);/ S. yj^ 



1 sine ^«-' 1 v""' ' /û^ 



ou : - • "^ ^ — ^ • (9) 



p sinw.coso — ', A„D/. -^i A„l\ 



(*) Salmon-Chemin, Courbes planes, p, :m. 

 A. Transon, Journal île Liouville, L M, i,s,',i. 



