A, GOn. — APPLICATIONS DU THÉORÈME DE CARNOT 269 



BC. Appliquons au triangle A'BC la ibrmulc (11), en l'écrivant comme 

 suit : 



A G A' G w A' G B,A' G.B 



ÂP'a;_,b ag " A^.N " B,G ". c;a'-'- 



Faisons tendre A' vers A et supposons que A,'j_^ et A;^ tendent à se 

 confondre avec B. Nous aurons, en passant à la limite : 



, AA- BC« „_,A/; ,_,B,A ,qB_ 



Soient P et Q les points de rencontre des droites A'A,^_^, A'A,^ avec BA; 

 les triangles PA„_,B, QA^^B donnent : 



A„B = QBii^, .V„.B=PB^. 



" sm A,, "-^ sm A,^_, 



A A' sin^ B ,. A A' 



d'où : lim . ,, , = -rrrr ^^^ - 



A„B.A„_^B AB'^ sinP. sinQ 



Soit H la projection de A' sur BA, et R le rayon du cercle ATQ; 

 le triangle A'PQ donne : 



PQ AH VA' sin A 



sin PA'Q sin P. sin Q sin P . sin Q 



A A' 1 ,. PQ 2 ,. ^ 



^'«■^ ' '^"^ smP:^) = sl^ ''"^ s-hû^VQ = slrTÂ ''"^ ^^ 



Or, R a pour limite le quart du rayon de courbure p au point A (*) ; la 

 formule cherchée est donc : 



BG;^ sin^B p „-2^^a^ .v'-i ^''^"^ ..«^î — 1 



ÂC" "ÂF ' ^lïïTÂ-ni \J\ • "i ip • n- c,A ^ '' 



h A/G B,A, G,.B ^ 



ou: iBi-2-ni Â^^B-n^ .b;X "g,a^'' ^ ^ 



// désignant la distance du point G au côté AB. 



(*) En effet, si l'on représente par r, r', r", r'" les rayons des cercles inscrit et ex-iiiscrits au 

 triangle A'PQ, r, i", r'" ont pour limite et r' a pour limite j. D'ailleurs m — r'~r" + i-"' — r. 



U'oh limR=- lim ;■'=-. Voir Servais Mathesis, t. IX, pp. 105 et 136. 

 4 4 



