A. GOB. — APPLICATIONS DU THÉORÈME DE CARNOT 273 



(«2, y 2) étant les coordonnées des points p;^, [3,^_, par rapport à BC pris 

 comme axe des y et à une perpendiculaire menée par B à cette droite, 

 prise comme axe des œ. Représentons par y'^, y'^, y'^ les dérivées relatives 

 à l'origine et nous aurons : 



LS-'" ' 1.2.3 



2/' = î/; + f!/:+7^ £' + ••• 



/y»2 /M 3 



D'Où: a^^'_î^ = __2/: + ^y:+--. 



Mais les tangentes B',8;, B'[3,,_^, ayant même ordonnée à l'origine, nous 

 aurons : x^y\ — </i = x^y\^ — y.^. Par suite : 



x\ — oci xl — x^ 



2/0 H 5 — 2/0 + • • • = 0, 



ou : 



2 ^^ ' 3 

 a^i + x'i „ , ^1 + ^1^2 + x\ 



2 



?/oH ô -Vo^ ... =0. 



Cette égalité montre que x^ + 0^2 est du second ordre, par suite, 

 lim^ = -l. 



De plus, en la divisant par x^x^ et passant à la limite pour x^=. x =0 

 on a; 



,. /i , i\ 22/0' 



ou : lim - + - 3= - — . 



\x^ xj 3 tj„ 



D'autre part, si l'on désigne par p le rayon de courbure en B, et par p' 

 le rayon de courbure de la développée, correspondant au même point, on 

 trouve sans peine : 



K' _ J^ / cotg 9 p^\ 



6 désignant l'angle que forme la tangente au point B avec la droite BC. 

 On a donc la formule suivante ; 



2 /cotg o'\ ^^n-\ \ v^n-2 i 



p \ V' ' 1 V^»-2 1 



3p / '^\ i'///,- ^^1 i3/,,£/. ^ ^ 



sin 6 \ p 



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