G. DE LONGCIIAMPS. — TIIÉOUÈME SUU LA GÉOMÉTRIK DKS MASSES 27o 



groupe formé par le centre du cercle inscrit et par les centres des cercles 

 ex-inscrits. 



Cette proposition peut être énoncée dans une autre forme et l'on peut 

 dire : 



Le harijcentre d\in groupe orthocentrkjue est le centre du cercle d'Euler 

 correspondant à ce groupe (*). 



Cette proposition est d'ailleurs manifeste. En effet, le barycentre d'un 

 quadrilatère A, B, C, D se trouve situé sur la droite que joint le milieu 

 de AB au .milieu de CD. Dans le cas d'un groupe orthocentri(iue, on a, 

 ainsi, trois droites qui concourent au centre du cercle d'Euler. 



Cette remarque étant faite, considérons quatre points A, B, C, D ; prenons 

 trois de ces points A, B, C et soit H^ l'ortliocentre correspondant. Appli- 

 quons aux points donnés A, B, C, D des masses égales (**) ; soit G le 

 barycentre. Au point H^ appliquons aussi des masses opposées + 1, — 1. 

 Les points A, B, C, H^^ formant un groupe orthocentrique, le barycentre 

 est le point Q^ , centre du cercle d'Euler correspondant au triangle ABC. 

 En prenant une masse 1, en chacun des points A, B, C, H^, on obtient une 

 masse 4, au point Q^. 



Finalement, en combinant les points A, B, C, D trois à trois, de toutes les 

 façons possibles, et en reproduisant, pour chacune de ces décompositions, 

 l'application de la remarque précédente, on obtient : des masses égales à 4, 

 appliquées aux points O^, Q^, O^., Q^; et des masses égales à — 1 (*=5=*)^ 

 appliquées aux points H^, H^, H^, H^. En désignant par O le barycentre 

 des points û^, ... ; par H, le barycentre des points H^, ... ; on voit que 

 l'action des masses considérées peut être envisagée comme égale à celle 

 d'une masse 12 appliquée au barycentre G ; ou, comme la résultante de 

 l'action d'une masse 16, appliquée en Q et de celle d'une masse — 4 

 appliquée en H. 



Ainsi les points G, Q, H sont en ligne droite, dans l'ordre où nous les 

 énonçons, et Ton a : 



GH = 4Gl>. 



Le théorème qui correspond à cette remarque ne mériterait guère 

 d'être mis en lumière, malgré sa grande simplicité, s'il n'était suscep- 



(*) Nous avons proposé (Mathesis) d'appeler groupe orthocentrique un groupe de quatre points 

 A, B, C, D; ces points tHant tels que luu quelconque puisse être considéré comme l'orlhocentre du 

 triangle formé par les trois autres. 



Il est évident que si celte propriété est vérifiée pour un des points, et pour le triangle correspon- 

 dant, elle est vraie pour tous. A ces quatre points formant un groupe orthocentrique, correspond 

 un cercle passant par les milieu.x des cotés AB, BC, ... CD (cercle des 9 points de l'un quelconque des 

 triangles ABC, ... BCD) ; nous l'appelons cercle il'Eiiler correspondant au groupe considéré. 



(**) Nous les supposerons égales à Irais unités. 



'.***) On comprend ce que nous entendons par là; au point H^, nous avons appliqué deux forces 

 • égales et contraires, chacune d'elles représentant l'action de l'unité de masse. 



