^76 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



tible d'une généralisation que nous allons indiquer et qui nous conduira 

 à un théorème d'un certain intérêt, parce qu'il ressort de la géométrie 

 générale des polygones, encore peu connue (*). 

 Cette généralisation repose sur un principe que nous énoncerons 



d'abord. 



Étant donnés N points Ai, A,. ... A,^ (dans un plan ou dans Vespace), 

 quelconques d'ailleurs; si deux autres groupes Bi, B,, ... B,^; Ci. C, ... C„ 

 sont tels que A-, B-, C- (de i = 1, à i = n) soient trois points en ligne 

 droite et si l'on a : 



A,B,. =. AB^C, 



(A: étant constant, quel que soit i), les barycentres <x, [3 y des groupes con- 

 sidérés sont en ligne droite et Von a : 



Cela posé, considérons cinq points A, B, C, D, E et faisons abstraction du 

 point E. 11 reste quatre points A, B, C, D ; soit G^ le barycentre correspon- 

 dant. Si nous appelons : H^, le barycentre des orthocentres des quatre 

 triangles ABC. . . . BCD ; il^ celui des centres des cercles d'Euler de ces 

 mêmes triangles ; nous venons de reconnaître que G^, O^, H^ sont en 



ligne droite et que 



G,H, = 4G,Q,. 



En appliquant cette remarque aux points G^, ... G^ ; û^, • . . û^ ; 

 H ... H et en utilisant le principe rappelé plus haut, on voit que les 

 barycentres de ces trois groupes (les points G, O, H) sont en ligne droite 



et que 



GH = 4GQ. 



D'ailleurs, si l'on prend tous les triangles formés par les points donnés, 

 o-roupés trois à trois, il est facile de voir que Q est le barycentre des 

 centres des cercles d'Euler, correspondants; H, de même, est le bary- 

 centre des orthocentres de ces triangles. En étendant, par une généralisa- 

 lion évidente, ces résultats à un polygone déterminé par ;/ points, on 

 aboutit à la proposition suivante, qui est celle que nous voulions établir. 



On donne N points et Von considère tous les triangles formés par ces 



. ni c r^nnPlons à ce propos, les etrorls que nous avons faits dans cette voie, en imaginant la 

 g^JtZSurrmle et en donnant quelques propriétés sur les figures formées par n points, ou par 



" ?.'^'rpûrr.Safa dû être signalée depuis longtemps; elle est presque évidente. Il suffit d'ob- 

 seivei qu'une masse -'•gale à K + 1 appliquée en B,- peut être remplac^'e : par une masse i, placée 

 7n \i et par une masse K, appliquée en C,-. 



