G. DE LONGCHAMPS. — DE l'eSPACE INFINITÉSIMAL 277 



points, combinés trois à trois; puis, pour c/iacun if eux, le centre m du 

 cercle d'Eu/er et V orthocentre hj. 



Le harycentre il du groupe formé par les centres w et le barycentre H 

 du groupe constitué par les points tels que h sont eu ligne droite avec le 

 barycentre G du groupe donné et Von a 



GH = 4GQ. 



M. G. DE LOIGCÏÏAMPS 



Professeur au Lycée Saint-Louis, à Paris. 



L'ESPACE INFINITÉSIMAL AUTOUR D'UN POINT D'INFLEXION (*) [0 2j] 



— Séance du 5' août 1893 — 



1. — Sur une courbe r, prenons un point d'inflexion 0. Pour fixer 

 les idées, nous nous supposerons, d'abord, placé dans le cas le plus 

 simple : celui où la tangente en rencontre F en trois points confondus 

 avec celui-ci. 



Pour étudier l'espace infinitésimal auquel appartient ce point 0, nous 

 rapporterons r à deux axes rectangulaires : Ox, Oy; Ox étant la tangente 

 en 0. L'équation de F est alors : 



y + ^bxy 4- cy-^ + a'x' + • • • + ojxjj) = (1) 



le coefFicient a' n'étant pas nul. En effet, nous supposons que est 

 un point simple ; l'équation doit donc renfermer des termes du premier 

 degré. D'ailleurs, Ox étant la tangente en 0, ils se réduisent au terme 

 en y; on peut donc diviser l'équation (1) parle coefficient de ce terme, 



(*) Ce Mémoire fait suite à celui que nous avons présenté, en 1891, au Congrès de Marseille et 

 qui a pour titre: Les sommets dans les courbes planes. Dans cette Note, comme dans celle que 

 nous présentons aujourd'hui, nous nous sommes proposé l'étude des éléments géométriques que 

 l'on peut considérer dans l'espace infinitésimal auquel appartient un point pris sur une courbe. 

 Nous montrons, par divers exemples, que les théoràmes de la Géométrie infinitésimale, démontrés 

 |iour le cas où le point considère est quelconque, ne subsistent pas toujours pour certains points 

 remarquables des courbes et que l'on pourrait, par conséquent, en appliquant ces théorèmes dans 

 ces conditions, être conduit à des conséquences inexactes par un raisonnement qui, au premier 

 aspect, paraîtrait inattaquable. 



