■278 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



coeffîcienl qui n'est pas nul. De plus, pour y = 0,on a trois racines nulles, 

 et trois seulement ; le terme a'.r^ doit donc, nécessairement, exister dans 

 l'équation de T. Cette remarque est essentielle pour appuyer les dévelop- 

 pements qui suivent. 

 2. — La méthode que nous avons utilisée dans le Mémoire cité est 



aussi celle que nous allons suivre dans la présente 



El Note. Elle consiste, pour la résumer en (pielques 



mots, à développer ij par rapport aux puissances 

 croissantes de œ; à. cet effet, nous utilisons la mé- 

 thode de Puiseux. 



Coupons r par une droite, passant par 0, infi- 

 niment voisine de Ox. Soit y = a.r, son équation ; 

 a étant un infiniment petit. L'équation (1) donne : 



B ' 



oc 



FiG. 1. 



a -)- ^>bxx 4- cx'x 4- «V + . . . = 0. (2) 



La ligne de Newton, celle que Ton considère dans la méthode de 

 Puiseux, est une droite Ali obtenue, comme l'indique la figure 1, en 

 prenant OA = 1, OB = 2. 



Le rapport — étant égal a 2, nous devons poser : 



a == ixX'-. 



L'équation (2) dont les deux membres ont été divisés par a;% devient 

 alors : 



(.x + f/')+iC(...)r^O. 



A la limite, x tendant vers zéro, on a: 



[».::= — a'. 



L'équation cherchée esl donc : 



y = x%- a' + 3). (3) 



s désignant un infiniment petit, fonction de x, et s'annulant en même 

 temps que x. 



Cette équation conduit à une première conséquence. 



3. — On sait que la distance d'un point M. pris sur une courbe r, à une 

 tangente infiniment voisine 0.r, est un infiniment petit du second ordre, 

 la corde CM étant l'infiniment petit principal. Cette propriété n'est plus- 

 exacte quand on est placé dans l'espace infinitésimal d'un point d'in- 

 flexion et l'on doit l'énoncer dans la forme suivante. 



