G. DE LONGCHAMPS. — DE l'eSPACE INFINITÉSIMAL 279 



Théorème.— La distance Ml* d'un point M, pm sur une courbe T, infi- 

 niment voisin du point d' inflexion 0, à la tangente d'inflexion, est un infini- 

 ment petit du troisième ordre (fig. 2). 



L'infinitude de MP augmente d'ailleurs avec le nombre des points, con- 

 fondus en 0, qui sont communs à la courbe et à sa tangente en 0. L'ana- 

 lyse précédente met immédiatement ce 

 fait en lumière. 



Supposons que 0.r rencontre r en 

 quatre points confondus avec 0. Dans 

 l'équation (1). on doit alors supposer 

 a' = 0, et, en désignant par a" le coef- 

 ficient du terme en x'", a" est différent ^^^ 2. 

 de zéro. Le calcul que nous avons fait, 



étant reproduit, avec les modifications évidentes qui correspondent à la 

 nouvelle hypothèse, conduit à l'équation : 



?/ = a-^( — a" + s'); 



et ainsi de suite. Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant, qui, 

 probablement, a été déjà remarqué : 



Théorème. — Soit une courbe V; sur cette courbe, on comidère un 

 point 0, point simple, tel que la tangente A, en ce point, rencontre E 

 en ^points confondus avecO. La distance d'un point M, infiniment voisin 

 de 0, à \ est un infiniment petit de l'ordre 6 ; OM représentant V infini- 

 ment petit principal. 



4. — Proposons-nous maintenant de trouver les conditions analytiques 

 exprimant qu'un point d'une courbe F, non multiple, jouit de la pro- 

 priété que la tangente en ce point rencontre la courbe T en plus de deux 

 points coïncidant avec 0. Ces conditions une fois trouvées, nous en tire- 

 rons facilement les conséquences que nous avons en vue. 



Supposons d'abord qu'il y ait trois points confondus avec le point de 

 contact. 



C'est le cas de l'inflexion ordinaire. 



Les formules que nous avons employées dans le Mémoire cité, formules 

 qui font connaître les coordonnées du point M (fig . 2), sont : 



a- = As + A's^ -f A''^^* -f . . . 

 y = B's^ + B"s^ -f . • • 



Si est un point d'inflexion ordinaire, MP doit être un infiniment petit 

 du troisième ordre. Dans ces formules, s, qui représente l'arc OM, est l'in- 

 fmiment petit principal. Le point O sera donc un point d'inflexion si 

 B' = 0. 



