280 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



En général, si, étant un point simple, la tangente Ox rencontre r en 

 des points, parmi lesquels 6 sont confondus avec 0, alors MP est un infini- 

 ment petit de l'ordre 6; le premier terme de y sera de l'ordre 6 en s. 



Xous pouvons maintenant montrer (encore une fois, c'est le but que 

 nous poursuivons et qui nous paraît de quelque importance), que certaines 

 propriétés de la Géométrie infinitésimale, exactes, quand le point consi- 

 déré est un point simple dont la tangente rencontre la courbe en des 

 points dont deux seulement sont confondus avec 0, cessent d'être vraies 

 pour les points que nous considérons et doivent être modifiées, comme 

 nous allons l'indiquer. 



5. — Lorsque deux points 0, M (fir/. 3) sont infiniment voisins, sur une 

 courbe r , on sait que si l'on trace une droite M'T, tangente à r, parallèle 



à OM, infiniment voisine de cette droite, le rapport 7;^ a pour valeur 



CM 



,. . 1 



limite -y 

 2 



quand le point M se rapproche indéfiniment de 0. En d'autres 



FiG. 3. 



Fi G. 



termes, la projection de M' sur OM se fait en un point H qui, à la limite, 

 est le milieu de OM. 



Ce théorème n'est plus exact, si le point est un point d'inflexion. 



Soient (fig. 4) x, y les coordonnées de M : .r', y' celles du point M'; 

 tellement choisi sur OM que la tangente M'T soit parallèle à OM. On a, en 

 posant OM = s, OM' = s' : 



x = Xs-^ X's^ + 



«2/ — A.S j • • • 



y' = B"i'» -f . . . 



et, par conséquent : 



dx' = (A + 2AY + . . .)ds', dy' = (3B" -f- . . .)s'hls'. 



dy' 

 Le coefficient angulaire de M'T étant -r-7> on a donc: 



dx' 



x " dx' 



