282 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



6. — Avant de poursuivre cette étude, nous devons faire sur la for- 

 mule : 



x= Xs + A's^ + AV + ... 



une remarque essentielle. 



ce 

 D'abord, la limite de - représentant le cosinus de l'angle MO.r, lorsque 



MOx tend vers zéro, on a A = 1 . 



D'autre part, la différence entre l'arc et la corde étant un infiniment 

 petit du troisième ordre (=^), x étant de la même infmitude que AB, on 

 doit faire A' = 0. 



Les formules qui donnent .r, y, développées en séries suivant les puis- 

 sances croissantes de s, sont donc 



^ x = s^ A"s^ + . . . 

 ^""^ l y --= B'.s^ + . . . 



Ces formules conviennent au cas général, celui où l'origine est un point 

 simple, à tangente régulière. Elles s'appliquent aussi aux cas particu- 

 liers que nous allons envisager tout à l'heure; il suffira de faire, 

 dans les égalités (a), certaines hypothèses sur les coefficients qui y 

 figurent (**). 



(*) Il faut ajouter au moins ; on verra plus loin, en effet, que, dans certains cas, cette différence 

 peut être d'un ordre plus élevé. 



(**) Il existe des formules classiques, faisant connaître le développement en série des coordonnées 

 X, y, en fonction de la variable s. 



Telles sont relies qu'on trouvera démontrées dans le Traité de Calcul différentiel de M. J. Bertrand, 

 p. bû3; et qui dunnent, pour le calcul de la cordée, l'égalité : 



c- rz s- - _ - . . . 



ço désignant le rayon de courbure à l'origine, point oii la tangente est parallèle à la corde infini- 

 tésimale c. Mais cette formule, et toute l'analyse qui y conduit, sont en défaut quand on suppose 

 oo = «. Il est facile d'en voir la raison. 



L'égalité 



(sy+{'i)=<. 



donne, 



dx d-x dy ^ dhj^ __ 



ds ds- (/s (/s- 



En appliquant cette relation dans l'hypothèse .s = o, on a bien, comme le dit M. Bertrand, 

 puisque -J- s'annule pour s =: o. ^lais ce raisonnement n est plus acceptable si 



(S), = «■ 



c'est-à-dire si le rayon de courbure à l'oriijine est infini : et les formules trouvées sont aussi com- 

 plètement en défaut. C'est pourquoi il y a lieu de faire, par une autre voie, comme nous le faisons 

 ici, l'élude de l'espace infinitésimal autour du point d'inllexion. 



