G. \)K LONGCHAMPS. — DK l'eSPACE INFINITÉSIMAL 283 



Notamment, si l'origine est un point inflexionnel de l'ordre t, les 



coeflicients B\ W sont nuls, jus([u'à celui qui représente le coeflicient 



(Je i'~', inclusivement. 



7. — Cela posé, nous allons pouvoir donner un nouvel exemple d'un 

 théorème de Géométrie infinitésimale qui doit être modifié quand on 

 l'applique à un point d'inflexion. Prenons le théorème connu : 



Si l'on considère un arc infiniment petit OM, les tangentes aux extré- 

 mités se coupent en un point T, tel que 



,. OT 1 



hm. --rr = -r • 



OM 2 



Ce théorème se démontre bien simplement, comme il suit : 



Soient œ, y les coordonnées du point M. L'équation de la tangente MT 



étant 



, dx du ,„ , 



si l'on y fait Y =: 0, on a, en utilisant les formules (a) (*), 



(X — s + ...X2B' -i- . . .) = — (B's +...)(!+ . . .), 

 ou 



0T(2B'+ ...) = B's+ ... 



OT 1 



D'après cela, la limite de — est égale à^-- 



Mais, si nous supposons que soit un point d'inflexion d'ordre t, le 

 premier terme du développement de y, dans la seconde des égalités (a), 

 nous l'avons fait observer tout à l'heure, est du degré t en s. En 

 reproduisant le calcul que nous venons de faire, on est conduit à 

 l'égalité : 



OT (/B +...) = (^ — 1)B6- + -" 



On a donc, dans ce cas. 



^"^ÔM = -7-- ^'^ 



8. — Nous énoncerons tout à l'heure le théorème correspondant à 

 cette égalité ; mais, auparavant, nous devons achever l'étude de la figure 



(*) Dans tous les calculs, nous n'écrivons que les termes de la plus faible infinilude, n'ayant 

 à considérer dans ces démonstrations que les valeurs principales des deux membres des égalités 

 considérées. 



