284 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



considérée. Un fait, au premier abord bien singulier, va se présenter à 

 nous et mettre en pleine lumière les précautions qu'il faut prendre 



dans les applications de la Géométrie infini- 

 tésimale. 



Considérons la tangente MT (fig. o). Puisque 



le point M est quelconque, il serait naturel de 



croire que le théorème relatif à la limite du 



TT 



rapport -^ n'est pas en défaut pour la tan- 



KlG. 



gente MT. 11 n'en est rien, comme nous 

 allons le montrer ('•'). 

 Abaissons MP, perpendiculaire sur Ox ; nous avons : 



OV=zs 



et, par suite, 



0T = 6 



t — 1 



TP-- + 



D'après cette égalité, on voit que 



OM t 



(2) 



Lorsque ^ = 2, ce qui est le cas général, les égalités (I) et (2) 



1 OT TM 



donnent -pour la limite des rapports -—75 -— • Quand on a ^ 7^: 2, les 

 2^ ^ OM OM 



1 

 limites sont différentes de - • Nous pouvons alors énoncer le théorème qui 



résume les deux propriétés que nous venons de rencontrer. 



Théorème. — Lorsque l'extrémité fixe (*''0 cVun arc infiniment petit OM 

 est inflexionnel de l'ordre t, la tangente en rencontrant la tangente en M, 

 en un point T : 1° les infiniment petits OT, OM sont dans le rapport des 

 nombres t — 1, t; 2° les infiniment petits 31T, OM ont un rapport 



, 1 



égal a — • 



(*) Suivant le ternie que j'ai employé dans le .Mi''moire du Congrès de Marseille, l'espace inflnité- 

 siinal cuiresponiiant à un point remarquable est troublé par la présence de ce point ; tous les 

 théorèmes de la Géoinétrie infinitésimale exigent, pour ces points, des démonstrations nou- 

 velles qui établissent que le théorème subsiste, ou qu'il doit être modifié, et comment il doit èlrc 

 modifié. 



(*•) Pour comprendre comment les tangentes aux points 0, M ne se comportent pas de la même 

 façon, il faut observer que ces extrémités ne jouent pas le même rôle ; 0, est un point fixe ; M, un 

 point mobile. C'est la singularité du point fixe qui, par contre-coup, provoque celle de l'espace 

 infinitésimal, associé à ce point. 



