G. DE LONGCHAMPS. — DE l'eSPACE INFINITÉSIMAL 28o 



9. — De ce théorème on déduit immédiatement le corollaire suivant : 

 Corollaire. — Les tangentes TO, TiVI sont dans un rapport égal à 



t— 1. 



Lorsque i = 2, on voit que ces tangentes sont égales ; c'est le théo- 

 rème connu : les tangentes infiniment petites menées d'un point à une courbe 

 sont égales. Si l'on suppose t ^i 2, le théorème n'est plus exact (*) ; 

 il doit être remplacé par celui que nous venons de donner. 



10. — Cherchons maintenant l'infinitude des angles formés par la tan- 

 gente en avec la corde infinitésimale OM et 

 avec la tangente en M (fig. 6). 



Posons : 



MOa? 



co. 



MTx 



ocy 



Fig. 6. 



Nous chercherons d'abord la relation qui existe 

 entre cp et co. 



En supposant que soit un point inflexionnel de l'ordre t, on a (en 

 supposant B t^ 0) : 



x = s-\- X"s^ + . . . , y = Bsf-\- B's«+i + . . . 

 dx = (1 4- 3A"5-2 . . .)ds, dy = {iBs^-^ + . . .)ds 



et, par conséquent, 



ij , Bs«-i + ... 



ic~ ° 1 + AV+... 

 ^ _ _ ms<-^ + . . . 

 dx~ ^''^~1+3AV+... 



(1) 



De ces égalités on tire 



tgco^ l+.3AV + .-. B + 

 tgç 1 + A"s'^ +.. Nb + 



En passant à la limite (s = 0), on a 



lim — = - 



ç t 



(*) J'ai dit, dans une note placée au bas de la page 13 du Ménaoire relatif « aux sommets dans les 

 courbes planes », que le rapport des tangentes infiniment petites issues d'un point à une courbe 

 était toujours égal à l'unité. Je n'entendais parler que du cas étudié dans ce Mémoire et j'ai voulu 

 dire que dans le voisinage d'un sommet les tangentes en question étaient égales, comme il arrive 

 pour un point quelconque. C'est dans ce sens qu'il faut entendre cette observation qui eût pu être 

 rédigée, je le reconnais, dans une forme plus précise. Il est, au contraire, inexact de croire que 

 deux tangentes infiniment petites, issues d'un point infiniment voisin d'une courbe, soient égales, 

 dans tous les cas. Nous en donnons ici, précisément, un premier exemple. 



