J.-M. RODRIGUES. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES 29o 



3. — Considérons maintenant un système d'équations simultanées 



G{x , y , z) =: et H(ir , y , z) =z 



les unes de degré m et l'autre de degré n par rapport à chacune des 

 variables. 



En ajoutant les termes de même parité, ces équations se ramènent à la 

 forme 



H(.,,,.)=.Y.(f.2)+x»--,.(|.i) 



1 



et si l'on applique le théorème de l'inversion des fonctions à deux variables, 

 on trouve 



A 



F ^. . -. = 



1 



ï .E\-\^ \-fi .£D^+^ 



^x X' j ^^ [ p^- (f- 



X^Y^ . - . F(a, b) 



qui exprime le développement en série d'une fonction des variables. En 

 déterminant la fonction des variables par les rapports 



F(ï,î)=ï+f et F(^,f)=^-Î 



\X X / X Jb \Jb Jb ^ Jb Jb 



résultent les séries qui expriment le développement des variables sans 

 effectuer l'élimination : 



X ^^\\ xj \ à,{a,b) .){ 



£_ y^ j/- ir^ Wxn-.AM). A 



X- 2é,l\ xj ^ V A,(a,6) ; 



Ces séries comprennent comme cas particuliers les beaux théorèmes de 

 Liouville. 



