296 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



4. — Supposons maintenant que l'équation (1) admette n racines égales 

 à î/o quand on fait x = œ^. Dans ce cas, la fonction algébrique se développe 

 en série ordonnée suivant les puissances fractionnaires de la variable indé- 

 pendante. En posant 



x = œ, + x' et 7j = y,~y' 



l'équation algébrique (1) se ramène à la forme 



F(^,^) =2-^.y ' 



x^=0 



laquelle admet n racines égales à zéro si x' z= 0. 



Les termes qui ne contiennent pas la variable t/' peuvent renfermer x' au 

 premier degré ou à une puissance supérieure. 



Dans le premier cas l'équation se réduit à 



ay'' + bx +<? [x,y) =0, 

 et en faisant 



X ^= X et y ^z zx 



il en résulte 



[az"" + h) -^X'I^ixz) =0; 



et en appliquant le théorème de l'inversion, il vient 



+ 2,-^» 



z= t 4- y K.x"' 



où t désigne une racine de l'équation binôme 



o^" + 6 = 



Cette série est convergente pour les valeurs de x inférieures au module 

 principal de la fonction, lesquelles vérifient la condition : 



moà.(x ''^'''^^ \<i' 

 \ az." + bj 



Les racines cycliques de l'équation proposée sont donc des fonctions 

 holomorphes de x" dans les régions des cycles polaires. Il en résulte le 

 développement de la fonction algébrique suivant les puissances fraction- 

 naires de la variable : 



1 « !î±' 



y—y^ = t{x — X,)" -^ 2, Kl • («^ - ^o) " 



