C.-A. LAISANT. — FIGURATION GRAPHIQUE DE NOMBRES COMBINATOIRES 299 



En disposant les points a„, «,,... de droite à gauche {fig. 2) au lieu de 

 prendre l'ordre de gauche à droite, supprimant le point «„, et numéro- 

 tant les routes qui unissent deux localités voisines, au moyen des signes 

 0, 1, 2, ..., on voit qu'un itinéraire quel- 

 conque aboutissant à a,, sera caractérisé par - n °, Q ^ 



la notation ^ Vi^ ^~1 



3 



^n-i ='«-2 • • • ^2*1. FiG. 2. 



chaque chiffre a,, ne pouvant prendre que l'une des A; + 1 valeurs 



0,1, 2, .../.-. 



La figure ainsi tracée n'est, en somme, que la représentation graphique 

 de l'écriture que j'ai indiquée déjà depuis plusieurs années sous le nom de 

 numération f'actorielle. (Voir Bull, de la Soc. math, de France, 1888, p. 176), 

 et qui se prête d'une façon heureuse à la classification des permutations. 



2. — Le nombre des itinéraires différents par lesquels on peut se rendre 



n' _ 



de la localité a^ en a^ {p < n) est (p -{- i){p -{- 2) ... n =— = A" ^. 



C'est le nombre des arrangements de n objets n — p k n — p. 



La remarque faite précédemment nous montre donc qu'on peut figurer 

 l'un quelconque des arrangements dont il s'agit par le symbole 



«A-, — . . . a^^OO . . . 0, 



le nombre des zéros écrits à la droite étant égal k p — 1. 



De là résulte la possibilité d'une classification des arrangements, 

 analogue à celle des permutations ; ou plutôt, les permutations étant 

 classées dans leur ordre, il suffit de les grouper, en en plaçant p ! dans 

 chaque groupe, pour que la classification des arrangements soit toute 

 faite, toutes les permutations de chacun des groupes commençant par un 

 même arrangement des n objets n — p à. n — p. 



Mais nous ne nous arrêterons pas sur ce point, voulant surtout indiquer 

 rapidement ici la possibilité de figurations graphiques. 



COMBINAISONS 



3. — Considérons (fig. 3) un quadrillage sur lequel nous numérotons 

 les coordonnées n et p, à partir de l'origine. Si nous nous proposons de 

 trouver le nombre u^ ^ des itinéraires qu'on peut suivre pour aller de 

 l'origine au point qui a pour coordonnées n, p, en suivant les lignes du 

 quadrillage et en marchant toujours dans le sens positif, il est clair que 

 pour arriver au point (n, p) il faut passer par l'un des points (n — i, p) ou 



