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MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCAMQUE 



(w, jj — 1). On a donc w„ ^, := w„_^ ^, + w„^,_,. En outre, t<„ ^ = 1 



et u 



0,p 



0° 

 





1 pour toute valeur de n ou de p. On reconnaît facilement 

 ainsi qu'on a : 



u 



(n 4- p)l _ ..n 



n, p 



nlpl 



n-\-p 



Via. 3. 



Le tableau numérique (ju'on formerait ainsi n'est 

 autre que le carré arithmétique de Fermât. C'est 

 d'ailleurs un résultat bien connu et que nous rappe- 

 lons seulement ici pour mémoire. 

 Sous une autre forme, cette question est celle de la détermination des 

 marches d'une tour pour se rendre d'une case à une autre sur un échi- 

 quier indéfini, sans jamais rétrograder. 



ARRANGEMENTS 



4. — Formons (fig. i) un quadrillage dans lequel chaque ligne hori- 

 zontale reproduit la figure 1 et oîi les points en ligne verticale sont reliés 

 par une seule route. Le nombre des itinéraires différents pour se rendre 

 de l'origine au point de coordonnées n, p, étant désigné par i\^ , nous 

 aurons, par un raisonnement identique à celui du numéro précédent : 



oa 



1 



<!y 



2 



<?- 



Ce 



->p 



2(> 



n, p 



En outre : 



^'n-|,;j~|- V^n, p—\ 



1 et fv, 



p\ 



t=^^^ 



rv 



n, ' ^ 0, ;> 



Ces conditions conduisent à trouver 



(m + p)\ 



V 



Fig. 4. 



n, p 



n 



= X 



n-rp 



Nous avons donc une nouvelle figuration graphique, en dehors de 

 celle du n° 2, permettant de représenter les différents arrangements de 

 D c ''^ ~^ P objets p à p. 



Si l'on construit (ftfj. o) le tableau numé- 

 rique qui en résulte, on voit qu'en formant 

 un parallélogramme tel que AHCD, le tjuo- 

 tient de deux termes ayant même coordon- 

 née n sur ce parallélogramme reste toujours 

 le même. 

 Du reste, le tableau des quotients qu'on obtient en divisant chaque 



1 



,y 



2 ^6 21»— 1?0--720 



/ 

 %' 2<» 120 720 



12 60 36o' 



\i — H. — 20 — 12d 



A B 



FlG. 5. 



