﻿1G0 MATHÉMATIQUES. ASTItONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



chacun de ses points la tangente forme avec le rayon vecteur issu du point un 

 angle égal à celui que forment entre eux les deux rayons vecteurs issus de A el de A' ; » 

 et ce problème se traduit par une équation différentielle de Ricattî dont on 

 connaît, d'après la théorie de M. Collignon, une intégrale particulière chaque 



lois que le rapport jr— est de la forme ■ En effet prenons le point pour 



origine des coordonnées, la droite OA pour axe des x, et soient OA ~ a, 

 OA' = a'; soient aussi x et y les coordonnées cartésiennes (rectangulaires) d'un 

 point M situé sur la courbe. L'équaiion du problème sera la suivante : 



V dy y y 



.r d.r 



ou bien 

 ou encore 



l+MÈL 



1 x'dx 

 yil-r — xdy 



* — . 



a - d.r -\- ydy x 2 -f- <J 2 — (« + a ') x + aa ' 



[x~ -j- y 2 — (a + a')x -\- aa'l (xdy — ydx) = (a — a')y(xdx -\- ydy), 

 et, en coordonnées polaires 



(a — a') sin — - — aa' — (a -f- a')r cos -)- r 2 ; 



Ci J 



c'est bien là une équation de Ricatti. 



M. Éléonor FONTANEAU, Ane. Off. de marine, à Limoges. 



Préliminaires d'hydraulique. — C'est à Lagrange que nous devons d'avoir 

 établi la base essentielle sur laquelle repose aujourd'hui l'application de l'hy- 

 drodynamique aux besoins de l'industrie. A l'hypothèse injustiiiée du parallé- 

 lisme des tranches, au théorème de Bernoulli, au principe de d'Alembert, employé 

 sans esprit de préordination générale, il substitua l'obligation d'intégrer les 

 équations aux dérivées partielles de l'hydrodynamique. 



L'auteur de cette communication, après avoir insisté comme il l'a déjà fait 

 sur l'importance que semblent avoir pour le progrès de cette méthode certaines 

 surfaces dont Lagrange a donné l'expression analytique, se propose aujourd'hui 

 de présenter dans leur ensemble les différentes formules qu'il a déjà données, 

 soit pour la généralisation du théorème de Bernoulli, soit pour traiter le cas 

 important du mouvement permanent. A ce résumé, dont l'utilité au point de 

 vue de l'application lui paraît nécessaire, il ajoute la démonstration d'une 

 proposition qui ramène à un procédé de calcul présenté d'abord par Lagrange, 

 essayé depuis par divers auteurs, mais ensuite écarté comme insuffisant. 



Théorème. — Etant donnée une équation aux différentielles totales quel- 

 conque, mais intégrablc, à trois variables : 



udx -4- vdxj ~\- wdz = 0, 



