﻿G. ARNOUX. — QUESTIONS DIVERSES D'ARITHMÉTIQUE GRAPHIQUE 167 



Enfin, lorsque le point lumineux est situé dans le plan tangent à la surface S, 

 la construction d'un point de la courbe d'ombre peut être effectuée au moyen 

 de la règle et du compas par l'intersection d'une droite et d'un cercle. 



M. Raoul PERRIN, Ing. en Chef des Mines, a. Paris. 



Sur un critérium de l'existence de racines réelles d'une équation numérique dans 

 un intervalle donné. — Cette communication complète le travail présenté au 

 Congrès d'Ajaccio, en 1901, « sur la séparation et le calcul des racines des équa- 

 tions numériques », en taisant connaître à côté du critérium nécessaire mais non 

 suffisant établi dans ce travail un autre critérium analogue, non plus nécessaire, 

 mais suffisant pour l'existence de racines réelles dans un intervalle donné. L'au- 

 teur en fait l'application à l'équation générale du second degré, ce qui le conduit 

 à déterminer la signification de certains invariants irrationnels du système de 

 trois formes binaires (une quadratique et deux linéaires), et enfin à une classe 

 d'équations littérales du Iroisième degré. 



M. Gabriel ARNOUX, Ane. Off. de mar., Les Mées. 



Questions diverses concernant les congruences de module composé. — Proposition 

 fondamentale. Tables de numération. Solution de l'équation arithmétique 

 x v = n pour le module 3.5.7, v et n étant quelconques. — Observations sur 

 l'équation ax^b (module composé). Table complète de puissances pour le mo- 

 dule 3.5.7, comprenant les nombres premiers et non premiers au module. 

 Table concise des puissances des nombres premiers au module, analogue aux 

 tables exemples usuelles de puissances des modules premiers. Exemple : 

 m = 3.5.7 et m = 3.7'.ïl. — Tables à lignes complètes et alignes incomplètes. 

 — Méthodes diverses pour la construction de ces tables. — Observations sur les 

 permutations des chiffres entre eux, quand on change la base d'une suite de 

 puissances. — Nombre de racines d'indice donné quand le module est composé. 



Questions diverses d'arithmétique graphique. — Suite des mémoires présentés 

 au Congrès d'Ajaccio. — Rectification d'une erreur qui s'est glissée dans le 

 second mémoire. — Observations diverses concernant ces mémoires. — Réduc- 

 tion des divers systèmes de solutions à l'un quelconque d'entre eux, pour l'équa- 

 tion du troisième degré (mod. 13). — Explication des lignes obliques ponctuées. 



— Les solutions zéro en congruence. Métaphysique des espaces arithmétiques, 

 donnant les solutions réelles des congruences du module premier. Calcul des 

 racines primitives quand le degré de l'équation est un diviseur de l'indicateur. 



— Schéma de ces opérations. — Correspondances diverses entre les solutions des 

 équations et les tables de puissance des imaginaires. — Solution complète de 

 l'équation du quatrième degré, module 5. Les espaces arithmétiques peuvent à 

 un certain point de vue être regardées comme des tables de décomposition des 

 polynômes d'un degré égal au nombre de dimensions de l'espace, en leurs 

 facteurs premiers. — Cette décomposition ne peut se faire que d'une seule 

 manière. — Dénombrement des solutions de chaque catégorie. — Observations 

 sur la pratique des calculs concernant les fonctions arithmétiques. 



