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Si, dans la courbe du 9 e ordre qui résulte de l'intersec- 

 tion de deux surfaces du 5 e ordre, il y a une courbe du 

 e ordre susceptible d'être placée sur une surface du second 

 degré, la courbe du 5 e ordre, qui complète l'intersection, 

 est plane. 



La démonstration donnée par l'auteur se fonde, en 

 somme, sur le théorème de Pascal; la suivante est beau- 

 coup plus simple, et indépendante de ce dernier. 



Si S 3 =0, S' 5 =0 sont les équations des deux surfaces 



considérées, 



S 5 - A-S 3 ' = 0' 



sera celle de toutes les surfaces du 5 e ordre S" 3 passant 

 par leur intersection, k étant une constante quelconque. 



Or, cette intersection devant, par hypothèse, renfermer 

 une courbe du 6 e ordre susceptible de se placer sur une 

 surface du second, il faut que Tune de ces surfaces S" 5 , 

 déterminée par une valeur particulière de k, puisse se 

 décomposer en une surface S 2 du 2 d ordre et un plan P, 

 de sorte que 



S 5 -*'S,'=S a .P, (|) 



d'où il résulte que l'intersection des deux premières sur- 

 faces se compose : 1° de la courbe considérée du 6 e ordre; 

 2° d'une courbe plane du 3 e . 



En définitive, l'hypothèse de l'énoncé se traduit immé- 

 diatement par l'équation (1), dans laquelle se lit, immédia- 

 tement aussi, la démonstration. 



Le premier cas particulier, que l'auteur tire de son 

 théorème, est celui dans lequel les deux surfaces S 3 et S' 3 

 se réduisent chacune à un trièdre ; alors l'équation (1) 

 devient : 



«Pr — *vsy==s t .p (2) 



