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La première de ces démonstrations, fondée sur des con- 

 sidérations met a géométriques, ne sera peut-être pas égale- 

 ment goùlée de tous les géomètres. 



On pourrait cependant en faire disparaître ce défaut, en 

 considérant l'un des paramètres /, (x, v, comme étant une 

 troisième variable z. Les trois premières équations, consi- 

 dérées comme simultanées, représenteraient alors les 

 points communs aux trois surfaces j>, %, ï\ et l'élimination 

 de /, fjt, v, entre ces équations et la 4 e , donnerait celle d'un 

 lieu passant par ces points communs. 



Ainsi modifiée, celte démonstration n'en présenterait 

 pas moins certaines difficultés; et c'est pourquoi nous n'y 

 insistons pas. 



La seconde sera admise aisément, aujourd'hui que le 

 principe de correspondance de M. Chasles est universelle- 

 ment connu; elle n'en diffère pas, en effet, dans le fond; 

 et elle pourrait s'appliquera des faisceaux de courbes algé- 

 briques, de môme qu'à des faisceaux de rayons. 



Mais nous avons cru utile de chercher une démonstra- 

 tion du même principe, fondée seulement sur les théories 

 géométriques les mieux connues. 



Nous allons l'exposer d'abord pour le cas le plus simple; 

 nous ferons voir ensuite comment on passera de ce cas 

 aux suivants. 



Théorème. Soit le système d'équations 



(A) f (ar,y.a,p) = i) % (x, y, «, S) = 2) f (*,*«,?)— 0, 



il s'agit de démontrer que 



si l'on élimine a et (3 entre ces trois équations, on obtient 

 l'équation d'un lieu passant par les points communs à 

 la fois aux trois courbes représentées par ces équations. 



