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Démonstration. Dans le système (A), les équations 

 1), 2), 3) représentent chacune un système doublement 

 indéfini de courbes, si les quantités a et (3 sont toutes 

 deux arbitraires; simplement indéfini, si a seul est arbi- 

 traire; une courbe définie, si aucune de ces quantités n'est 

 arbitraire. 



Éliminer [3 entre ?et ^, c'est trouver un lieu ?, , passant 

 par les intersections des deux lieux ? et ■/», déterminés par 

 une valeur particulière de a, de sorte que chaque point de 

 ce lieu est un point d'intersection d'une courbe <p et d'une 

 courbe ^, déterminées par une valeur particulière de a, et 

 par une valeur particulière de (3. 



De môme, éliminer (3 entre % et £, c'est trouver un 

 lieu %,, passant par les intersections des deux lieux % et <i>, 

 déterminés par une valeur particulière de a, de sorte que 

 chaque point de ce lieu est un point d'intersection d'une 

 courbe % et d'une courbe tf», déterminées par une valeur 

 particulière de a, et par une valeur particulière de (3. 



Si les deux équations (p., =0et %i = sont considérées 

 comme simultanées, de sorte que oc, ?/, a ont les mêmes 

 valeurs dans ces équations, elles représentent les points 

 communs aux lieux 9., et %,, points qui sont en nombre 

 défini pour une valeur particulière de «. Et comme, par 

 chacun de ces points, suivant qu'on les considère sur le 

 lieu f| , ou sur le lieu % u passent une courbe ? et une 

 courbe £, ou une courbe % et une courbe </-, chacun d'eux 

 sera donc un point commun d'intersection des trois 

 courbes v , %, t>. 



Si a varie, le lieu de ces points communs sera une 

 courbe, dont on obtiendra l'équation en éliminant a entre 

 les deux équations o 1 =0 et% 1 = 0, ou bien en éliminant 

 a et (3 entre ?=0, %=0, v// = 0, ce qu'il fallait démontrer. 



