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 formés d'après les lois précédentes. Nous supposons 



a 1 i = £i> a^—x^ ..., a nn — x ni 

 bu = yi, b iï =y i , ..., b nn = y n , 



de sorte que 

 Soit 



X n = x i x^...x n , Y n = î/ 1 2/ 2 ...i/, 



Cm ■* • • c nn 



le déterminant égal au produit X„Y n . On a-, comme Ton 

 sait, 



c« = «a &*i -*- «a &*a + •*• -*- a in &*». 



Les produits a ip b kp du second membre sont nuls dans 

 deux cas: 1° si p est plus grand que î, ou si p est plus 

 grand que k, d'après la deuxième loi ; 2° si p n'est pas un 

 diviseur de i et de k\ d'après la remarque déduite de la 

 troisième loi. En effet, si p ne divise pas t, a ip = 0, d'après 

 ce que l'on a vu au § I ; si p ne divise pas k, b kp = aussi. 



Si p est un diviseur de i et de k, a ip = a pp = x p , b kp = 

 b pp = 2/ p . Donc 



c ik = ~x p y p 



la somme s'étendant à toutes les valeurs de p, qui divisent 

 à la fois i et A\ Autrement dit, les valeurs de p sont les 

 diviseurs du plus grand commun diviseur de i et de k. 



De là résultent immédiatement les propriétés suivantes 

 du produit Z n : t° ce déterminant Z„ est symétrique; 

 2° on a, pour un terme de la diagonale 



la somme s'étendant à toutes les valeurs de p, diviseurs 



