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lignes dans la méthode d'Euler, m seulement, dans celle de 

 Bézout. Les mineurs de R, par rapport aux éléments d'une 

 colonne verticale, sont proportionnels aux coefficients 

 de «r, ^ , I) étant le plus grand commun diviseur (x — a) 

 de jx et de gx. Ceux qui correspondent aux éléments d'une 

 horizontale sont proportionnels aux puissances a ,** 1 ^ 2 ,* 3 ,.. 

 de la racine commune. 



Les conditions nécessaires et suffisantes pour que les 

 deux équations aient p racines communes, ont la forme 

 r,=0, r 2 =0,r 3 =0..., i\,r 2 ,r z ,... étant des mineurs de R, 

 de degré m -h n — 2p -f- 2, dans la méthode d'Euler, de 

 degré m — p dans celle de Bézout. Les mineurs des dé- 

 terminants r, par rapport aux éléments d'une colonne, sont 

 encore proportionnels aux coefficients de §, ^ . Quant aux 

 mineurs des déterminants r, par rapport aux éléments 

 d'une ligne horizontale, on n'en a pas donné jusqu'à pré- 

 sent la signification analytique. 



Dans cette première note préliminaire, nous nous pro- 

 posons de montrer que ces mineurs sont proportionnels à 

 certaines fonctions symétriques , très-simples, des racines 

 communes aux équations fx = 0, gx = 0. Nous espérons 

 faire voir, ultérieurement, que celte simple remarque a des 

 conséquences importantes pour toute la théorie de l'élimi- 

 nation, et en particulier, pour la détermination des racines 

 communes. 



Dans ce qui suit, nous prouvons d'une manière simple 

 et naturelle, que les conditions nécessaires pour l'existence 

 de p racines communes aux équations données sont rj=0, 

 r 2 =0, r 3 =0, .... Nous n'établissons pas que ces conditions 

 sont suffisantes, renvoyant, pour le moment, aux mémoires 

 cités plus haut, pour la démonstration de cette réciproque. 



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