342 Enriques, Wachstum und seine analytische Darstellung. 



verschiedenen Einfluss; es ist genug-, dass einige Ursachen ein 

 Zurücklaufen der Kurve bewirken, um es tatsächlich beobachten zu 

 können. 



III. Die analytische Darstellung des Wachstums und der 

 biologischen Tatsachen im allgemeinen. 



Betrachten wir nun die mathematische Seite der Frage von 

 einem allgemeinen Gesichtspunkt aus. Betrachten wir zuerst die 

 Art und Weise, mit welcher die logarithmischen Funktionen, die 

 aus der Integration einer differentiellen algebraischen Funktion 

 entstehen, eine gegebene Kurve annähernd nachahmen können. 

 Solches ist der Fall auch für die Berechnung von Brailsford 

 Robertson; er hat nämlich die differentielle Gleichung: 

 dx . . , 



1. df= x ( A - x » 



eingeführt, nämlich eine algebraische Funktion des zweiten Grades 

 nach x, ohne das bekannte Glied (den praktischen Einfluss dieses 

 Mangels werden wir nachher besprechen). Wir wollen im allge- 

 meinen die Gleichung 



2. v = a + bx + ex 2 -f- dx 3 . . . 



betrachten, wo v die Geschwindigkeit des Phänomens (x) darstellt. 

 Wenn das in Frage stehende Phänomen einige Maxima oder Minima 

 besitzt, so entsprechen diese augenscheinlich dem Wert v = O, 

 nämlich den realen Wurzeln der Gleichung: 



3. a -f bx + ex 2 -f- dx 3 . . . = O. 

 Nun besitzt, wie bekannt, das Integral 



= f dt = t + c, 



f. 



a -\- bx -f- ex 2 ... 



das von der Gleichung 2 herstammt, eine Summe von Gliedern, 

 von denen einige den realen Wurzeln von Gleichung 3 entsprechen; 

 und diese sind von dem folgenden Typus: 



5. log (x — a) oder — -r-p- ^ 



(n — 1) (x — a) 



wo a eine reale Wurzel der Gleichung darstellt. Diese beiden 

 Ausdrücke werden = co für x = a. Es wird nämlich die Zeit 

 t = oo, wenn x ein Maximum oder ein Minimum besitzt; mit 

 anderen Worten, man kann überhaupt nicht ein endliches Phänomen, 

 das Maxima oder Minima besitzt, mit solchen Formeln darstellen. 

 Andererseits, nehmen wir irgendein Phänomen, dessen Ge- 

 schwindigkeit wir mit einer Funktion von dem Typus 2 nachahmen 

 wollen: wir betrachten natürlich nur einen auf- oder absteigenden 

 Teil des Phänomens, dessen experimentelle Kurve wir mit einer 

 -(■wünschten und gegebenen Approximation immer mit der theo- 

 retischen nachahmen können; der Grad der möglichen Approxi- 



